Beweis mit Binomialsatz. Wie? (1+a)^n ≤ 1 + ...

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Es sei a ∈ R mit 0 ≤ a ≤ 1. Zeigen Sie unter Verwendung des Binomialsatzes, dass folgende Ungleichung für alle natürlichen Zahlen gilt:

(1 + a)ⁿ ≤ 1 + (2ⁿ −1)·a

Wie genau wendet man jetzt Binomialsatz daran an? Ich hatte bis jetzt nur Vollständige Induktion.

 

Answer 1

   (1 + a)ⁿ

= ∑_k=0..n nCk · a^k

= 1 + ∑_k=1..n nCk · a^k

≤ 1 + ∑_k=1..n nCk·a

= 1 + a·∑_k=1..n nCk

= 1 + (2ⁿ - 1)a