Wie hängen der Binomialkoeffizient und der Binomialsatz bzgl dem Pascalschen Dreieck zusammen?

Question

Hallo Community,

Gibt der Binomialkoeffizient die Symmetrie des Pascalschen Dreieck  mit der Formel [( n über (n-k)) * ( n über k)] an und der Binomalsatz die Summe der n - ten Zeile ?  Oder wie soll ich das verstehen?

für die Bemühungen.

Answer 1

Hallo,

richtig ist, dass man im Pascalschen Dreieck die Binomialkoeffizienten ablesen kann. Im Pascalschen Dreieck findet man \({n \choose k}\) in der \(n\)'ten Zeile an der \(k\)'ten Stelle. Genau wie im Pascalschen Dreieck jede Zahl aus der Summe der beiden über ihr stehenden bereechnet wird, gilt auch $${n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1}$$

... und der Binomalsatz die Summe der n - ten Zeile ?

nicht ganz. Der Binominalsatz besagt $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k$$Wenn Du \(x\) und \(y\) auf \(1\) setzt, dann bekommst Du die Summe aller Binomialkoeffizienten und die ist dann logischer weise gleich \((1+1)^n = 2^n\). Und das ist identisch mit der Summe aller Zahlen in der \(n\)'ten Zeile des Pascalschen Dreiecks.

Answer 2

Aloha :)

Im Pascal'schen Dreieck findest du die Binomialkoeffizienten wieder:

$$\begin{array}{c}\binom{0}{0}\\\binom{1}{0}\binom{1}{1}\\\binom{2}{0}\binom{2}{1}\binom{2}{2}\\\binom{3}{0}\binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{3}\\\binom{4}{0}\binom{4}{1}\binom{4}{2}\binom{4}{3}\binom{4}{4}\\\binom{5}{0}\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{3}\binom{5}{4}\binom{5}{5}\end{array}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{array}{c}1\\1\;\;1\\1\;\;2\;\;1\\1\;\;3\;\;3\;\;1\\1\;\;4\;\;6\;\;4\;\;1\\1\;\;5\;10\;10\;\;5\;\;1\end{array}$$Im Pascal'schen Dreieck sind die Ränder immer \(=1\). Alle anderen Werte sind gleich der Summe der beiden darüberliegenden Werte, z.B. \(4=1+3\) oder \(6=3+3\) oder \(10=6+4\).

Wenn \(n\) die Zeilen zählt (beginnend bei \(0\)) und \(k\) die Spalten zählt (beginnend bei \(0\)), kannst du das formal wie folgt aufschreiben:

Die Ränder sind alle gleich Eins: \(\;\;\binom{n}{0}=1\quad;\quad\binom{n}{n}=1\)

Ein Wert ist die Summe der beiden darüber stehenden Werte: \(\;\;\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\)

Du meinst vermutlich die Formel \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). Die drückt aus, dass es egal ist, ob du eine Zeile von links nach rechts oder von rechts nach links liest. Sie beschreibt also, wie du schon richitg vermutet hast, die Symmetrie der Zeilen im Pascal'schen Dreieck.