Es ist super easy. Kannst du schon " aufleiten " ? Ich zitiere hier das Telekolleg von 1975 .
Bekanntlich stellt die Hochschulmatematik die Welt vom Kopf auf die Füße. Was normale Menschen beweisen, setzt die Uni voraus; und was Normalos unbesehen glauben, beweist sie. Und sie hat ihre Gründe dafür.
Logaritmus ist definiert als das Integral
x
ln ( x ) := $ 1 / t dt ; x > 0 ( 1 )
1
Erste Folgerungen.
ln ( x ) < = > 0 ; x < = > 1 ( 2a )
und insbesondere
ln ( 1 ) = 0 ( trivial ) ( 2b )
Wenn du so vorgehst, musst du natürlich die ganze Formelsammlung rauf und runter beweisen; denn wenn nur eine Formel nicht stimmt, kann das, was wir definiert haben, nicht Logaritmus sein. Nehmen wir das logaritmische Rechengesetz
ln ( x y ) = ln ( x ) + ln ( y ) ( 3a )
der Beweisgedanke; wir intressieren uns für die Funktion
f_a ( x ) = ln ( a x ) ; a > 0 ( 3b )
ihre Ableitung findes t du unschwer mit der Kettenregel
f ' ( x ) = 1 / ( a x ) * a = 1 / x ( 3c )
Damit haben aber ( 1;3c ) die selbe Ableitung; sie können sich daher nur unterscheiden um eine ===> Integrationskonstante.
ln ( a x ) = ln ( x ) + C ( 4a )
C finden wir aus ( 2b ) , indem wir in ( 4a ) setzen x = 1
C = ln ( a ) ( 4b )
Jetzt C rück substituieren in ( 4a )
ln ( a x ) = ln ( a ) + ln ( x ) ( 4b ) ; wzbw
Ich fand das ein sehr schönes Kapitel Analysis. Die Vorlesung streifte noch weitere diesbezügliche Fragen; soll ich es fortsetzen?
