Fehlerschranke mit Hilfe der Intervallrechnung

Question

Die Koeffizienten p und q der quadratischen Gleichung x² -10x + 3 = 0 seien mit einem absoluten Fehler von maximal 0,1 bzw. 0,3 behaftet, also p = -10 ± 0,1 und q= 3± 0,3.

Bestimmen Sie geeignete Fehlerschranke für die Lösungen x₁ und x₂ aus der p-q-formel mit Hilfe der Intervallrechnung.

Ich habe nun zuerst versucht x_1max / x_2max herauszufinden, habe dazu in die p-q Formel 10,1 und 3,3 eingesetzt. Ist dieser Ansatz richtig?

Comments

Nein, das ist nicht richtig. Du sollst mit Intervallrechnung arbeiten. Nicht irgendwelchen eigenen Mist "erfinden".

Answer 1

wenn Du die üblichen Regeln der Intervallarithmetik kennst, so sollte dies doch kein Problem sein. Es ist

$$-p = [9,9; 10,1] \quad q = [2,7; 3,3]$$

Die Lösungformel lautet bekanntermaßen:

$$\begin{aligned} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\ &= \frac{[9,9; 10,1]}{2} \pm \sqrt{\frac{[9,9; 10,1]^2}{4} - [2,7; 3,3]} \\ &= [4,95; 5,05] \pm \sqrt{ [24,5025; 25,5025] - [2,7; 3,3] } \\ &= [4,95; 5,05] \pm \sqrt{ [21,2025; 22,8025] } \\ &= [4,95; 5,05] \pm [4,6046; 4,7752] \end{aligned}$$

daraus folgt dann

$$x_1 = [9,5546; 9,8252] \quad x_2 = [0,1748; 0,4454]$$

wobei ich natürlich runden musste (hier auf 4 Stellen hinterm Komma) und zwar derart, dass das gerundete Intervall das ursprüngliche vollständig enthielt.