Differenzierbarkeit von f(x)=|x|³

Question

Ich habe folgendes Problem mit der Funktion f(x)= |x|³:

ich soll herausfinden, wie oft diese Funktion über ganz R differenzierbar ist.

Die Musterlösung sagt zweimal, weil bei der dritten Ableitung die linksseitige und rechtsseitige Differenzierbarkeit im Ursprung nicht mehr übereinstimmen.

Mein Problem ist nun ich verstehe nicht, was damit gemeint ist.

Soweit ich weiß ist der Graph der Funktion eine Parabel und müsste im Ursprung die Steigung null besitzen, wieso sagt die Musterlösung jetzt, dass f(x) an dieser Stelle nicht differenzierbar ist?

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen

lG...xP

Comments

Schau mal bei https://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate+3+x+sqrt%28x%5E2%29,

 was passiert, wenn man die Ableitung nochmals ableitet.

Es gilt also

" dass f ' ' (x) an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist? "

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verstehe ich nicht...

wo kommt denn auf einmal der knick her...

zeichnerisch betrachtet gibt doch die zweite Ableitung die Steigung des graphen der ersten Ableitung an

und der graph der ersten ableitung dieser funktion sieht aus wie die tangensfunktion und müsste in seiner steigung doch eigentlich durch eine gerade bschrieben werden, die durch den ursprung geht, oder habe ich mich da jetzt total verfahren???

 ..*VERZWEIFELT*

Answer 1

f ( x ) = | x | ³  =

a)  x ³ , falls x >= 0

b ) - x ³ sonst.

 

f ' ( x ) =

a)  3 * x ² , falls x >= 0

b) - 3 x ² sonst

 

f ' ' ( x ) =

a) 6 x , falls x >= 0

b) - 6 x sonst

 

So, und nun kommt's: f ' ' x ist an der Stelle x = 0 nicht mehr differenzierbar, weil

lim [h->0] f ' ' ( 0 + h ) = 6 <> - 6 = lim [h->0] f ' ' [ x - h ]

ist. Der linksseitige Grenzwert von f ' ' ( 0 ) ( der ist gleich - 6 ) stimmt also nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert von f ' ' ( 0 ) (der ist gleich 6) überein.  Die Gleichheit ihrer Grenzwerte an der Stelle x jedoch ist Voraussetzung für die Differenzierbarkeit einer Funktion f an der Stelle x. Daher ist f ' ' ( x ) an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.