Stetigkeit und Differenzierbarkeit überprüfen: f_{k} : ℝ→ℝ: x ↦x^{k} / |x| für x ≠0 und 0 für x=0

Question

Hallo ich bräuchte einen kleinen Tipp für folgende Aufgabe

Für k ∈ ℕ sei die Funktion f_k definiert durch

f_k : ℝ→ℝ: x ↦x^k / |x| für x ≠0 und 0 für x=0

Untersuchen Sie, für welche k die Funktion f_k in z=0

(a) stetig ist;

(b) differenzierbar ist;

(c) stetig differenzierbar ist;

Meine Überlegung:

(a) stetig für k ≥ 2 , da bei k=1 die Funktion bei z=0 springt

(b) differenzierbar für k ≥ 3 , bei k=2 ist die Funktion genau |x| welche in 0 nicht differenzierbar ist

(c) stetig differenzierbar für k=1 und k ≥ 3 , bei k=1 ist die Ableitung konstant, bei k=2 springt sie und ab k=3 bleibt sie stetig.

Die Frage ist, reicht das als Begründung/Beweis oder muss ich das genauer zeigen? Wenn ja, wie?

Answer 1

Hallo

 Widerspruch in deiner Aussage, k=1 a) nicht stetig, c) differenzierbar?  stetig ist eine notwendige Bedingung für differenierbar.

 du hast alle deine Behauptungen  die meist richtig sind nicht wirklich bewiesen.  warum etwa ist x^3/|x| stetig diffbar? am besten gleich für alle k>=3 zeigen

zeigen indem du den GW für x gegen 0 zeigst. x<0 f(x)=... f'(x)=.. ebenso für x>0  und lim f'(x) für x->+0 und -0

Gruß lul

Comments

Ja du hast Recht, bei (c) gilt es nur für k ≥ 3.

Um sowas für alle k ∈ℕ zu zeigen würde sich doch ein Induktionsbeweis anbieten oder nicht?

Wie würde das genau aussehen mit GW x gegen 0? Ich steh gerade etwas auf der Leitung glaub ich.