Question

Eine innere Verknüpfung auf R ist definiert als:
◦ : R × R,(x, y) → n · x + k · y und n, k ∈ R
Wie muss man n, k ∈ R wählen, damit (R, ◦) eine Halbgruppe ist?

Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Das R ist wohl ℝ ?

Dann ist Abgeschlossenheit gegeben, egal was n und k sind.

Außerdem muss es assoziativ sein, also für alle x,y,z ∈ ℝ gelten

x ° (y ° z)  = ( x ° y)  ° z

<=> x ° (ny +kz)  = ( nx + ky)  ° z

<=> nx + k(ny +kz)  = n( nx + ky)  + kz

<=> nx + kny +k^2 z  = n^2 x + nky  + kz

Damit das für alle x,y,z gilt, muss

n^2 = n und k^2 = k  gelten

also

( n=0 oder n=1 ) und  (k=0  oder k=1).

Comments

Wie würde man weiter vorgehen wenn man nun die Existenz des inversen und neutralen Elements beweisen müsste (Gruppe)?