Konvergenz von uneigentlichen Integralen

Question

Hi ich sitze gerade an einer Aufgabe in der man folgende Integrale auf Konvergenz überprüfen soll, mit dem Hinweis dass man die Konvergenzkriterien von uneigentlichen Integralen verwenden soll.

Habe von beiden Integralen versucht das unbestimmte Integral zu berechnen, jedoch komme ich da weder mit Substitution, noch mit partieller Integration weiter. Bei ii) kommt laut wolfram alpha nach partieller Integration und Substitution etwas mit einer imaginären Fehlerfunktion erfi raus. Noch nie gehört.

Wäre sehr dankbar wenn mir jemand zeigen könnte wie man die obigen Integrale auf Konvergenz untersuchen kann (vlt. ja sogar ohne dass man das Integral per se berechnen muss)

DANKE

Answer 1

a) verwende das Minorantenkriterium:

$$\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}<\frac{1}{\sqrt{x^4}}=\frac{1}{x^2}$$

das Integral konvergiert also

b) Die untere Grenze ist eine Problemstelle, da muss man schauen was passiert:

für x gegen 0 kannst du die Taylorentwikclung der e-Funktion nutzen , der Integrand verhält sich dort wie

$$\frac{x}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$ und das konvergiert beim Integral in der Nähe von 0

Comments

Hi Vielen Dank für die Antwort....welches Konvergenzkriterium wäre das dann bei b) ? Und wie kann man mit der Taylorentwicklung der e-fkt begründen dass sich e^x -1 um 0 gleich verhält wie x?  Sry aber hatten noch keine Taylorfunktion..

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Man kann das auch abschätzen, e-Funktion ist ja über die e-Reihe definiert. Das wäre dann ja auch minorantenkriterium.

e^x=1+x+x^2/2 +x^3/6 +...

Für 0<x<1 gilt also

e^x<1+x+x/2+x/6+...

=1+x(1+1/2+1/6+...)

=1+xe

Also ist für x knapp über 0

(e^x -1)/(x^{3/2})<ex/(x^{3/2})

=e/√x

Das ist auch integrierbar.

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Ah okay vielen Dank! Reicht das schon um zu sagen dass das Integral konvergiert?

Und kann man die Konvergenz auch mit zweimaligem L‘Hospital zeigen? Dann bekommt man nämlich die Problemstelle aus denn nenner