ableitungsfunktion durch lim

Question

lim

x->x0           (3/x²-x) - (3/x0²-x0) / x-x0

Kann man die kettenregel hierfür verwenden ?

Comments

x->x0          (3/x²-x) - (3/x0²-x0) / x-x0

Du hast sicherlich völlig falsch geklammert
Richtig

[ 3/( x²-x) - 3/ (x0²-x0) ] / [ x-x0 ]

Answer 1

hier sollst du keine der bekannten Ableitungsregeln anwenden, sondern die Ableitung mithilfe vom Limes bekommen.

Man hat die Funktion $$f(x)=\frac{3}{x^2-x}$$

$$f'(x)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{3}{x^2-x}-\frac{3}{x^2_0-x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{3(x^2_0-x_0)-3(x^2-x)}{(x^2-x)(x^2_0-x_0)}}{\frac{x-x_0}{1}}\\=3 \cdot \lim\limits_{x\to x_0} \frac{x^2_0-x_0-x^2+x}{(x^2-x)(x^2_0-x_0)\cdot(x-x_0)}\\ = 3 \cdot \lim\limits_{x\to x_0}\frac{-(x-x_0)(x+x_0)+(x-x_0)}{(x^2-x)(x^2_0-x_0)\cdot(x-x_0)}\\=3 \cdot \lim\limits_{x\to x_0} \frac{(1-(x+x_0))\cdot(x-x_0)}{(x^2-x)(x^2_0-x_0)\cdot(x-x_0)}\\=3 \cdot \lim\limits_{x\to x_0} \frac{1-(x+x_0)}{(x^2-x)(x^2_0-x_0)}\\ = 3\cdot \frac{1-(x_0+x_0)}{(x^2_0-x_0)(x^2_0-x_0)}\\=3 \cdot \frac{1-2x_0}{(x^2_0-x_0)^2}$$

Fertig

Comments

Meine Anerkennung.
Das ist jonglieren mit Termen auf höchtem Niveau.
Alleine kann man auf sowas kaum kommen.
Das ist dir sicher einmal beigebracht worden ?

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Danke :)

Durch viel Übung geht das schon. Dann geht das auch relativ gut voran mit dem Umformen. Ansonsten würde ich das auch hier nicht unbedingt mit dem Limes machen, da es schon viel 'Umformungsarbeit' braucht und ich sonst auch auf die gängigen Ableitungsregeln zurückgegriffen hätte. Weil aber in Tiggz1 Frage was von Limes stand, bin ich davon ausgegangen, dass hier der Limes genommen werden musste.

Answer 2

Wie war die Ausgangsfrage im Buch ?
Sollte die 1.Ableitung unbedingt so gefunden werden ?

Mit Diff-Rechnung gehts wesentlich einfacher.

f ( x ) = 3 / ( x² - x)
Direkt mit der verkürzten Qutientenregel oder
f ( x ) = 3 * ( x² - x) ^-1
f ( x ) ´ = ( -1 ) * 3 * ( x² - x) ^-2 * ( 2x - 1 )
f ( x ) ´ = -3 * ( 2x - 1 ) / ( x² - x) ²

Comments

Erstmal danke vielmals

Also wir hatten den Ansatz an der Tafel stehen (den ich in meine Frage gestellt hab) und müssten ihn dann fortführen.

Also mit dem lim halt.

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Dann ist der Lösungsweg wie bei hallo97
angesagt.