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ich habe versucht die folgende Funktion nach der Substitution zu integrieren, aber komme auf ein anderes Ergebnis,

als ein Integralrechner. Ich finde meinen Fehler nicht. Wie integriere ich diese Funktion richtig?

Danke


Hier der Rechenweg:

$$f\left( x \right) ={ e }^{ 2x+1 }\quad \cdot \quad 4x\quad \\ \\ \int { f(g(x)\cdot g'(x)dx\quad =\int { f(t)\quad  }  } \\ \\ \int { { (e }^{ 2x+1 }\cdot 4x)dx\quad =\int { { e }^{ t }\quad dt\quad  }  } \\ \\ t=2x+1\quad \\ t'\quad =\quad 2\\ \\ \frac { dt }{ dx } =\quad 2\quad \\ \\ dx\quad =\quad \frac { dt }{ 2 } \\ \\ \int { { (e }^{ 2x+1 }\cdot 4x)dx\quad =\int { { 4x\quad e }^{ t }\quad \cdot \quad \frac { dt }{ 2 } \quad =\quad  }  } { 2x\quad e }^{ t }\quad dt\\ \\ \int { { (e }^{ 2x+1 }\cdot 4x)dx\quad = } { 2x\quad e }^{ 2x+1 }\\ \\ $$


Laut rechner kommt raus:

$$(2x−1)\quad { e }^{ 2x+1\quad  }+C$$


Über eine ausführliche/verständliche Erklärung würde ich mich freuen.


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2 Antworten

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Im vorletzten Schritt hast du x als Konstante  behandelt.

Wegen t=2x+1 ist das aber falsch, x ist auch eine Funktion von t.

Besser löst du das Integral über partielle Integration nach dem Muster

∫ u' * v =   u*v  - ∫ u*v'

wenn du 4x = v   und  u ' = e^{2x+1} nimmst, hast  du

v ' = 4  und    u = 0,5 * e ^{2x+1}  und damit kommst du hin.

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Danke für die Antwort.


Wie kommt man aber von e^{2x+1} auf 0,5*e^{2x+1} ? Das verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach ist es wegen 2x+1 eine Verkettung und die Integration einer Verkettung geht ja über Substitution. Deswegen habe ich mich für den Weg entschieden und nicht für partielle Integration.


Kannst du mir das evt. erklären?


Danke

Für das Teilproblem

Integration von  e^{2x+1}  ergibt  0,5*e^{2x+1}  ist deine Idee

mit der Substitution richtig.

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Meine Berechnung:(Lösung durch partielle Integration)

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Danke für die Antwort.



Wie kommt man aber von e^{2x+1} auf 0,5*e^{2x+1} ? Das verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach ist es wegen 2x+1 eine Verkettung und die Integration einer Verkettung geht ja über Substitution. Deswegen habe ich mich für den Weg entschieden und nicht für partielle Integration.



Kannst du mir das evt. erklären?



Danke

Substituiere

z=2x+1

dz/dx =2

dx=dz/2

->eingesetzt:

=∫ e^z  *dz/2

=1/2∫ e^z  *dz

= 1/2 e^z  +c

1/2 e^{2x+1} +C

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