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Aufgabe:

Kann jemand Schritt für Schritt F(x)= -16*e^(-0,25x^2) die Integration durch die Substitution ausrechen? Der Schritt dz/dx verwirrt mich

von

2 Antworten

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Aloha :)

Da man die Funktion$$F(x)=-16e^{-0,25x^2}=-16e^{x^2/4}$$nicht ohne Weiteres integrieren kann, gehe ich davon aus, dass dies bereits die Stammfunktion ist und du die Funktion$$f(x)=8xe^{-x^2/4}$$mittels Substitution integrieren sollst.

Substitution bietet sich immer dann an, wenn die innere Ableitung einer Funktion als Faktor in dem Integranden auftaucht. Damit du das hier erkennst, schreibe ich die Funktion etwas um:$$f(x)=-16\cdot\left(-\frac x2\right)\cdot e^{-x^2/4}$$Der Faktor \(\left(-\frac x2\right)\) ist die innere Ableitung der Exponentialfunktion, also von \(\left(-\frac{x^2}{4}\right)\). Bei der Substitution ersetzt du nun genau dieses Argument durch eine neue Variable:$$u\coloneqq-\frac{x^2}{4}\implies\frac{du}{dx}=u'(x)=-\frac x2\implies dx=-\frac{du}{\frac x2}=-\frac 2x\,du$$Bei der Substitution kürzt sich dann nämlich die innere Ableitung heraus:

$$\int f(x)\,dx=\int8xe^{-x^2/4}\,dx=\int 8x e^{u}\left(-\frac2x\right)du=-16\int e^u\,du=-16e^u+C$$Am Ende musst du \(u\) wieder zurück substituieren:$$\int f(x)\,dx=-16e^{-x^2/4}+C$$

von 113 k 🚀
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Hallo

was wurde denn integriert?  willst du 8x*e-0,25x^2  integrieren und z =-0,25x^2  dann ist dz/dx=-0,5x oder dz=-0,5xdx

also musst du -16e^z dz integrieren wo liegt jetzt dein Unverständnis? vielleicht dass is 8=(-16)*(-0,5) benutzt habe?

lul

von 83 k 🚀

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