Integration durch Substitution mit e

Question

Aufgabe: Integral von x(lnx)^2

Und zwar verstehe ich nicht wieso man bei der Substitution mit x=e^z dx=e^z dz bekommt. Weil z=lnx dachte ich, dass man beim Ableiten bei der Substitution noch das 1/x, wegen dem lnx, vor dem e^z kommt. Oder behandelt man das z dort wie ein x dass z‘ wie bei x gleich eine eins ist? Oder wie kann ich das verstehen.

Mit Hilfe der Substitution
\( z=\ln (x), \frac{d z}{d x}=\frac{1}{x} \Leftrightarrow d x=e^{z} d z\left(\Rightarrow \ln (1)=0, \lim \limits_{x \rightarrow 0} \ln (x)=-\infty\right) \)
sowie zweifacher partieller Integration ergibt sich
\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{1} x \ln ^{2}(x) d x &=\left.\int \limits_{-\infty}^{0} z^{2} e^{2 z} d z \stackrel{\text { p. I. }}{=} \frac{1}{2} z^{2} e^{2 z}\right|_{-\infty} ^{0}-\int \limits_{-\infty}^{0} z e^{2 z} d z \\ & \stackrel{\text { p. I. }}{=} \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{2} z^{2} e^{2 z}-\left.\frac{1}{2} z e^{2 z}\right|_{-\infty} ^{0}+\int \limits_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{2 z} d z \\ &=-\lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{2} z e^{2 z}+\left.\frac{1}{4} e^{2 z}\right|_{-\infty} ^{0}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} e^{2 z}=\frac{1}{4} \end{aligned} \)

Answer 1

Aloha :)

Du ersetzt ja \(z\coloneqq\ln(x)\), damit \(x\) als Integrationsvariable wegfällt. Sicher ist dann$$\frac{dz}{dx}=\frac1x\implies dx=x\,dz$$Wenn du so im Integral verwenden würdest, hättest du:$$\int x\ln^2(x)\,dx\quad\to\quad\int x\,\underbrace{z^2}_{\ln^2(x)}\,\underbrace{x\,dz}_{dx}$$In dem neuen Integral käme also noch die alte Integrationsvariable \(x\) vor. Deswegen musst du dieses \(x\) irgendwie loswerden. Dazu schau dir nochmal an, was zuerst substituiert wurde:$$z=\ln(x)\implies e^z=x$$Damit verschwindet nun das \(x\) aus dem Integral:$$\int x\ln^2(x)\,dx\quad\to\quad\int x\,\underbrace{z^2}_{\ln^2(x)}\,\underbrace{x\,dz}_{dx}\quad\to\quad\int e^z\,z^2\,e^z\,dz=\int z^2e^{2z}\,dz$$

Comments

Das habe ich verstanden. Was ich nicht verstanden habe ist wenn x=e^z ist muss man es doch erstmal ableiten und dann dx/dz=(e^z)‘ setzen. Und da z=lnx dachte ich, dass bei der Ableitung von e^z noch ein 1/x kommt.

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In der Substitution wird ja vereinbart, dass:\(\quad z\coloneqq\ln(x)\)

Das heißt aber auch, dass:\(\quad x=e^z\)

Im Integranden wollen wir das \(x\) durch das \(z\) ersetzen:$$x\ln^2(x)=e^z\ln^2(e^z)=e^z\,z^2$$

Zustäzlich müssen wir das Differential \(dx\) durch \(dz\) ersetzen. Dazu kannst du entweder \(x\) nach \(z\) ableiten:$$\frac{dx}{dz}=\frac{d}{dz}\left(e^z\right)=e^z\quad\implies\quad dx=e^z\,dz$$oder du kannst \(z\) nach \(x\) ableiten:$$\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac1x\stackrel{(x=e^z)}{=}\frac{1}{e^z}\quad\implies\quad dx=e^z\,dz$$In beiden Fällen erhältst du dieselbe Ersetzung.

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Aber warum ist die Ableitung von e^z gleich e^z? Ich dachte eigentlich an z‘=1/x dann x‘=(1/x)*e^z