Zu jeder reellen Zahl x existiert eine Folge in Q, die gegen x konvergiert

Question

Hey guys :)

ich werde sehr freuen, falls jemand von euch mir bei dieser Aufgabe ein bisschen helfen koennte.

Zeigen Sie, dass zu jeder reellen Zahl x existiert eine Folge mit rationalen Folgengliedern, die gegen x konvergiert.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Was soll ich hier tun? ( Rationale Folge, konvergenz gegen reelle Zahl)

Stichworte: konvergenz,rationale,folge,reelle

Ich habe Schwierigkeiten, folgende Aufgabe zu lösen und wäre dankbar für jede Hilfe:

Zeige, dass eine rationale Zahlenfolge a_n existiert, die gegen eine reelle Zahl q für n→unendlich konvergiert.

Wie genau kann ich die Existenz von a_n zeigen? Soll ich einfach eine Folge dafür angeben und das dann beweisen??

EDIT: muss heißen, die gegen eine reelle Zahl, die nicht in  Q ist, konvergiert.

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Ja.

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Wird davon abhaengen, wie bei euch ℚ und ℝ eingefuehrt wurden und was schon bewiesen ist. Da Du das nicht mitteilst und ich Deine Vorlesung nicht hoere ...

Answer 1

vermutlich muss es heißen, die gegen eine reelle Zahl, die nicht in  Q ist, konvergiert.
z.B. Heronverfahren zur Annäherung an eine irrationale Wurzel, etwa wurzel(2).

Dann wäre die rationale Folge.
a1= 1 und
a2 = (1 + 2/1 ) / 2 = 1,5
a3 = (1,5 + 2/1,5 ) / 2 = 1,416...
a4= ( 1,416 +  2/ 1,416) / 2 = 1,414...
allgemein

a _n+1 = ( a_n + 2 / a_n ) / 2
gibt alles rat. Zahlen, weil nur die Grundrechnenartten verwendet werden
und für n gegen unendlich ist der Grenzwert

g = ( g + 2/g ) / 2  also g^2 = 2 und weil g>0 also g = wurzel(2) und das ist irrational.