Begriffe: Grenzwert einer Folge mit Epsilon-Umgebung; Nullfolge

Question

Erkläre die Begriffe

* Grenzwert  einer Folge

* Nullfolge

* Umgebung

Berechne auch den Grenzwert der Folge der Folge an =  (3n -2) / (2n-1) , sowie den Index n, ab dem jedes Folgenglied am mit m n innerhalb der e- umbegung mit e- Umgebung mit e = 0,01  um diesen grenzwert liegt
Wann konvergiert eine Folge, wann divergiert sie ??

Kann eine arithmetische Folge konvergieren? Begründe deine Entscheidung

Comments

Kann eine arithmetische Folge konvergieren? Begründe deine Entscheidung

Höchstens, wenn d=0 ist. Du musst prüfen, ob ihr das bei der Definition ausgeschlossen habt. Falls ausgeschlossen, ist keine Konvergenz möglich.

Vermutlich meinst du einen längeren Bruch, nämlich a_n = ( 3n -2) / (2n-1) ???

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Wenn du in deinen Unterlagen nichts zu diesen Begriffen findest, kannst du z.B. hier schauen: https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)

Answer 1

Annahme: Die Klammerung ist wie im Kommentar vermutet.

Berechne auch den Grenzwert der Folge der Folge an =  (3n -2) / (2n-1).

an =  (3n -2) / (2n-1)       |oben und unten durch n

= (3-2/n) / (2 - 1/n)

Grenzwert n gegen unendlich: 2/n und 1/n gehen gegen 0.

Es bleibt Limes (n gegen unendlich) (  (3n -2) / (2n-1)) = 3/2 = 1.5

| ( (3n -2) / (2n-1)) - 1.5 |< 0.01

Ich rechne mal 

 ( (3n -2) / (2n-1)) - 1.5 = ±0.01 resp. -0.01

und schaue nachher.           |*(2n- 1)

3n-2 - 1.5(2n-1) = ±0.01(2n-1)

-2 + 1.5 = ± 0.01(2n-1)       

-0.5 = ±0.01(2n-1)   da n gross - nötig.

-0.5 = -0.01(2n-1)

0.5 / 0.01 = 2n-1

50+1 = 2n

25.5 = n

Ab n= 26 müsste der Abstand von e also kleiner als 0.01 sein.

 

Kann eine arithmetische Folge konvergieren? Begründe deine Entscheidung

Höchstens, wenn d=0 ist. Du musst prüfen, ob ihr das bei der Definition ausgeschlossen habt. Falls ausgeschlossen, ist keine Konvergenz möglich.

Comments

und was bedeutet der Begriff Umgebung in beziehung mit der Nullfolge ??

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Eine Epsilon-Umgebung um 0.

Also das Intervall:  (-Epsilon, + Epsilon)