Stationäre Punkte einer Funktion zuordnen, ob es Sattelpunkt oder Extremwert ist?

Question

Hallo ich habe folgende Funktion gegeben:

f(x,y) = x^2 + 2xy - y^2 - 12y + 8 ln x

Ich soll die stationären Punkte bestimmen, das habe ich: P1(1,-5), P2(2,-4).

Woher weiß ich jetzt wann es ein Sattelpunkt und wann es ein Extremwert ist?

Danke.

Answer 1

Hallo xx...,

für jeden der 2 erhaltenen stationären (kritisichen) Punkte prüfst du mit den zweiten partiellen Ableitungen durch Einsetzen:
f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt
                        < 0  → Sattelpunkt
                        = 0    erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix
im Fall "Extremum" weiter:
f_xx  < 0  →  Hochpunkt
      > 0  →  Tiefpunkt
      = 0  kann nicht vorkommen

in deinem Fall ergeben sich ein Sattelpunkt in (2|-4) und ein Hochpunkt in (1| -5)

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++x%5E2+%2B+2%C2%B7x%C2%B7y+-+y%5E2+-+12%C2%B7y+%2B+8%C2%B7LN(x)

Hier kannst du den Graphen drehen und von allen Seiten betrachten:

http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=0&xmax=3&ymin=-7&ymax=0&zmin=Auto&zmax=Auto&f=x%5E2%2B2%2Ax%2Ay-y%5E2-12%2Ay%2B8%2Aln%28x%29

Gruß Wolfgang