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Für jedes t>0 ist eine Funktionen ft gegeben durch ft(x)= x^2-t^2. Der Graph von ft schließt mit der x achse eine Fläche A(t) ein.

Bestimmen sie A(t) in Abhängigkeit von t . Für welche Werte von t beträgt der Flächeninhalt 36 FE ?

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen und schritt für schritt erklären ,vielen dank!

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Titel: frage zu integral und flächeninhalt in abhänigkeit

Stichworte: dreieck,flächeninhalt,integral

Für jedes t>0 ist eine Funktionen ft gegeben durch ft(x)= x^2-t^2. Der Graph von ft schließt mit der x achse eine Fläche A(t) ein.

Bestimmen sie A(t) in Abhänigigkeit von t . Für welche Werte von t beträgt der Flächeninhalt 36 FE ?

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen und schritt für schritt erklären ,vielen dank!

2 Antworten

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Hallo Mathefrager,

Bestimmen sie A(t) in Abhängigkeit von t

Die Funktion \(f(x)=x^2-t^2\) ist eine Parabel, die symmetrisch zur Y-Achse liegt und deren Scheitelpunkt sich unterhalb der X_Achse befindet. Die Parabel wird daher mit der X-Achse eine Fläche \(A(t)\) einschließen (s. Plot unten). Die Grenzen der Fläche bilden die Schnittpunkte der Funktion mit der X-Achse - also die sogenannten Nullstellen. Die Nullstellen sind

$$0 = x_{1,2}^2 - t^2 \quad \Rightarrow x_{1,2} = \pm t$$

Folglich ist

$$A(t) = \int_{-t}^{+t} x^2-t^2 \, \text{d}x = \left. \frac13x^3 - xt^2 \right|_{-t}^{+t} \\ \space = \frac13 t^3 - t^3 - \left( -\frac13 t^3 + t^3\right) = -\frac43 t^3$$ Die Fläche \(A(t)\) ist \(\lt 0\), da sie unterhalb der X-Achse liegt. Wir betrachten nur den Betrag:

Für welche Werte von t beträgt der Flächeninhalt 36 FE ?

$$|A(t)| = |-\frac43 t^3 | = 36\text{FE} \quad \Rightarrow t = 3 \text{LE}$$ Der Graph dieser Funktion sieht dann so aus

~plot~ x^2-3^2;[[-5|+5|-10|+4]] ~plot~

falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte noch mal.

Gruß Werner

PS.: sehe den Zusammenhang zu dieser Frage: https://www.mathelounge.de/539693/flacheninhalt-und-integrale-berechnen?show=539741#a539741

Beide Parabeln sind Normalparabeln, beide Flächenabschnitte haben eine Spannweite (d.h. Abstand der Nullstellen) von \(6 \text{LE}\) und eine Höhe von \(9 \text{LE}\). Folglich haben beide den selben Flächeninhalt von \(36\text{FE}\); wenn auch eine oberhalb (positiv) und eine unterhalb (negativ) der X-Achse.

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x^2-t^2= 0

x^2 =t^2

x1.2= ± t

->

=∫(x^2-t^2) von -t bis t dx

= x^3/3 -t^2 x +c

die Grenzen eingesetzt:

=t^3/3 -t^3 +t^3/3 -t^3

A(t)=( 2/3) *t^3 -2t^3

A(t)=( -4/3) t^3

--->|A(t)|=(4/3) t^3

(4/3) t^3=36

4 t^3= 108

t^3= 27

t= 3

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Hallo Grosserloewe,

Du hast noch nicht auf meine Anfrage zu diesem Posting 'https://www.mathelounge.de/538243/mit-potenzreihenansatz-unendlich-diffbare-funktion-finden' reagiert. Kannst Du mir sagen wie dort die Unterschiede zwischen meiner Lösung und der Lösung von Wolfram Alpha zustande kommen? Ist meine Lösung falsch? Falls ja - warum liefert odeint das selbe Ergebnis?

Gruß Werner

Hallo Werner,

da hast du Dich leider geirrt.Damit habe ich doch gar nichts zu tun.

Hallo Grosserloewe,

da hast du Dich leider geirrt.Damit habe ich doch gar nichts zu tun.

Ja - noch nicht ;-)  Aber ich weiß, dass Du bei der Lösung von DGL'en immer vorne mit dabei bist. Daher hatte ich mich an Dich gewendet. Wer sonst von den 'üblichen Verdächtigen' hier könnte mir sonst helfen?

Gruß Werner

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