Wie prüfe ich die Injektivität?

Question

ich möchte nachweisen das folgende Abbildung injektiv oder surjektiv ist aber habe Probleme mit dem Lösungsansatz. ƒ:ℝ→ℝ² , x↦(x,x²)

Wie gehe ich am besten an so eine Aufgabe heran? Soll ich irgendwelche Werte des entsprechenden Zahlenbereiches einsetzen um somit die Injektivität und Surjektivität zu beweisen? Mir fällt echt nichts ein zumal ich nicht verstehe was genau mit ℝ² gemeint sein soll(Kartesisches Produkt?) und bei den beiden Argumenten der Abbildungsvorschrift steht keine Verknüpfung. Mir fällt einfach kein Lösungsansatz ein aber ich möchte die Aufgabe wirklich verstehen und von daher würde ich mich über Tipps bzw. Lösungsansätze sehr freuen. MfG

PS: Was ich an der Definition der Abbildung nie richtig verstanden habe ist: Wieso ist f(x) das gleiche wie y? Generell tue ich mich leider gerade bei diesem Thema(Abbildungen, Relationen) sehr schwer mit den Definitionen..

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Ergänzung(um mögliche Missverständnisse aus dem Weg zu räumen): Es müssen keine kompletten Lösungsvorschläge sein. Mir geht es darum eine Idee bzw. ein Gefühl dafür zu bekommen wie man die Injektivität und Surjektivität von Abbildungen nachweisen könnte, damit ich dieses Thema endlich besser verstehe. Falls jemand gutes Lernmaterial zum Thema Abbildungen empfehlen könnte, dann würde ich mich sehr darüber freuen, weil ich mir schon relativ viele Videos zu dem Thema angeschaut habe aber gerade diese Thematik fällt mir ungewohnt schwer.

Answer 1

Hallo EC,

die Funktion ist injektiv, denn je zwei verschiedene x-Werte  haben verschiedene Funktionswerte (x,x²),

die Funktion ist nicht surjektiv, denn für (3,-4) ∈ ℝ² gibt es (z.B.) kein Urbild in ℝ

[ f(ℝ) = ℝ x ℝ₀⁺ ≠ ℝ² ]

Wieso ist f(x) das gleiche wie y? 

f(x) ist der Funktionswert von x, warum sollte man diesen - was durchaus gebräuchlich ist - nicht y nennen.

[ z.B. Geradengleichung   y = 3x +2   :⇔   f(x) = 3x + 2 ]

Gruß Wolfgang

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also das mit der Injektivität hab ich schon mal etwas besser verstanden aber deine Begründung bezüglich der Surjektivität kann ich nicht ganz nachvollziehen.

"die Funktion ist nicht surjektiv, denn für (3,-4) ∈ ℝ² gibt es (z.B.) kein Urbild in ℝ

[ f(ℝ) = ℝ x ℝ0+ ≠ ℝ² ]" Also so wie ich das sehe hast du zwei beliebige Zahlen genommen die im Zahlenbereich von ℝ liegen. Muss/kann man dann nicht die Zahlen quadrieren, da die Abbildungsvorschrift ja (x,x²) heißt. Und was genau würde dann da rauskommen?(Steht ja keine Verknüpfung zwischen den beiden Argumenten). Meine Vermutung wäre dann: für (3,-4) ∈ ℝ² das die Werte 3 und 12 rauskommen( Ich denke ich liege irgendwo mit meiner Annahme falsch). Und inwiefern würde das prüfen die Abbildung surjektiv bzw. nicht surjektiv ist? Wie gesagt konnte ich leider nicht nachvollziehen wie du auf [ f(ℝ) = ℝ x ℝ0+ ≠ ℝ² ] kommst. MfG

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Also so wie ich das sehe hast du zwei beliebige Zahlen genommen die im Zahlenbereich von ℝ liegen.

Ich habe ein passendes Zahlenpaar aus der Zielmenge ℝ² genommen und dieses hat kein Urbild in der Definitionsmenge ℝ, weil es kein Bild mit negativer zweiter Koordinate geben kann. Es ist also nicht jedes Element der Zielmenge ℝ²  Bild eines Elements der Definitionsmenge  ℝ → f ist nicht surjetiv.