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Finde die Gleichung von einem Kreis mit dem Mittelpunkt M(4|-1), welcher die Line y = -0.5x + 8 berührt

Der erste Schritt ist ja klar: (x-4)2 + (y+1)2

Wie kommt man dann aber auf  (x-4)2 + (y+1)2 = 39.2?

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2 Antworten

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Bestimme den Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden

y = -0.5x + 8

0.5x + y - 8 = 0

x + 2y - 16 = 0

d = |x + 2y - 16| / √(1^2 + 2^2)   [Abstandsformel der Geraden]

Hier also den Kreismittelpunkt einsetzen

r = |(4) + 2(-1) - 16| / √(1^2 + 2^2) = 14/5·√5

Also

K: (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = (14/5·√5)^2 = 196/5 = 39.2

von 340 k 🚀

Ich verstehe es leider ab der 4. Zeile nicht, da wir es in der Schule nicht so vertieft angeschaut.

Dann bestimme den Abstand auf einen dir bekannten weg. Also Lotgerade durch den Kreismittelpunkt legen und Schnittpunkt mit der Geraden berechnen.

y = 2·(x - 4) - 1 = - 0.5·x + 8 --> x = 6.8

y = - 0.5·6.8 + 8 = 4.6

r^2 = (6.8 - 4)^2 + (4.6 - (-1))^2 = 39.2

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Zunächst die Skizze ( symbolisch )

gm-7.jpg
Der kürzeste Abstand ist der Radius r

Eine Tangente ist die Funktion
t ( x ) = -0.5 * x + 8
Eine Normale ist eine zur Tangente senkrecht
verlaufende Funktion.
Die Normale hat die Steigung
m2 = -1/m1 = - 1 / -0.5
m2 = 2
Die Normale geht durch den Mittelpunkt ( 4 | -1 )
-1 = 2 * 4 + b
b = -9

n ( x ) = 2 * x - 9

Schnittpunkt zwischen n und t
-0.5 * x + 8 = 2 * x - 9
2.5 x = 17
x = 6.8
y = 2 * 6.8 - 9
y = 4.6
( 6.8 | 4.6 )

r^2 = ( -1 - 4.6 ) ^2 + ( 4 - 6.8 )^2
r^2 = 39.2
r = 6.26

von 99 k 🚀

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