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Sei f : ℝ4 → ℝ4 definiert durch
f(x; y; z; t) = (x - z + (a + 2)t; y + z - 2t; 2z + (a - 3)t; at).
Für welche a ist f diagonalisierbar?

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f(x; y; z; t) = (x - z + (a + 2)t; y + z - 2t; 2z + (a - 3)t; at).

f hat die Matrix M =

1           0        0          0
0           1        0          0
-1          1       0          -2
a+2      -2      a-3         a

gibt char. Polynom

x^4 -(a+2)x^3 +(4a-5)x^2 +(12-5a)*x +2a-6

hat jedenfalls die Lösung x=1.

Also ist 1 ein Eigenwert mit 2-dim Eigenraum.

Für Diagonalisierbarkeit braucht man als noch

zwei weitere Eigenvektoren.

Polynomdivision

(x^4 -(a+2)x^3 +(4a-5)x^2 +(12-5a)*x +2a-6) : (x-1)^2

=x^2 - ax + 2a-6

Und das =0 gesetzt hat zwei Lösungen, wenn

a^2 -8a +24 > 0  gilt.

Das ist immer der Fall.

Also ist so eine Matrix immer diagonalisierbar.

Nett z.B. der Fall a=3.

Eigenwerte 0, 1, 3.

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