Für welche a ist A nicht inventierbar?

Question

Aufgabe:

Matrix A∈ℝ^5,5 hänge von dem Parameter a∈ℝ ab, und habe die Determinante det(A) = a(2-a)². Für welche a ist A nicht inventierbar?

Problem/Ansatz:

ich weiß, dass A nicht inventierbar für a = 0 und a = 2 ist.

Kann mir aber jemand vielleicht erklären wie man auf die Lösung kommt? Ich bin dankbar für jede Hilfe :)

Answer 1

Aloha :)

Die Spalten einer quadratischen $n\times n$-Matrix kannst du als Vektoren eines $n$-dimensionalen Vektorraums auffassen. Die Determinante dieser Matrix gibt an, welches $n$-dimensionale Volumen diese Vektoren aufspannen. Wenn die Determinante $=0$ ist, bedeutet dies, dass die $n$ Vektoren nicht den vollen $n$-dimensionalen Raum aufspannen. Daher müssen diese Vektoren linear abhängig sein. Wenn du die Matrix als Abbildung auffasst, kannst du diese nicht umkehren, weil dir die Information über mindestens eine ursprüngliche Dimension fehlt. Mit anderen Worten, eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\ne0$ ist.

In deinem Fall weißt du, dass $\text{det}(A)=a(2-a)^2$ gilt. Die Matrix ist nicht invertierbar, wenn die Determinante $=0$ wird. Das ist für $a=0$ und für $a=2$ der Fall. In allen anderen Fällen ist $\text{det}(A)\ne0$ und die Matrix daher invertierbar.

Answer 2

Die Matrix ist nicht invertierbar, wenn die Determinante null ist.

Und nach dem Satz vom Nullprodukt ist hier das Produkt null, falls a=0 oder 2-a=0 ⇔ a=2.