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Sei A ∈ ℝnxn nilpotent, d.h., es existiert k so dass Ak = 0.

Man berechne: XA+En und det(A + En).

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Hi,
für kommutative Matrizen \( A \) und \( N \) mit \( N \) nilpotent gilt
$$ \chi_{A+N}(x) = \chi_A(x) $$ und $$ \det(A+N) = \det(A) $$ siehe http://www.blu7.com/Skripte/Lineare_Algebra_II_SS02_Skript.pdf Satz 11.16,

wobei \( \chi_A(x) \) das charakteristische Polynom von \( A \) ist.

Das angewandt auf Deine Aufgabe ergibt

$$ \chi_{A+E_n}(x) = \chi_{E_n}(x) =\det( E_n - x E_n) = (1 - x)^n  $$ und $$ \det(A+E_n) = \det(E_n) = 1 $$

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