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Sei (zn)neine Folge in ℂ. Zeigen Sie:
a) Konvergiert (zn)gegen z ∈ ℂ ,so konvergiert die Folge (|zn|)n gegen |z|.
b) (zn) ist genau dann eine Nullfolge, wenn (|zn|)eine Nullfolge ist.
c) Ist (zn)n beschränkt und (w)eine Nullfolge, so ist auch (zn wn  )eine Nullfolge.

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Teil b) ist besonders billig. Einfach die Definitionen hinschreiben und merken, dass beide Male das Gleiche dasteht:

$$z_n\to0\quad\,\,\,\Longleftrightarrow\quad\text{$|z_n-0|<\varepsilon\,\,\,\,\,\,$ für jedes $\varepsilon>0$ und fast alle $n$},$$ $$|z_n|\to0\quad\Longleftrightarrow\quad\text{$\bigl||z_n|-0\bigr|<\varepsilon\,\,\,$ für jedes $\varepsilon>0$ und fast alle $n$}.$$

Es ist \(|z_n-0|=|z_n|=\bigl||z_n|-0\bigr|\).

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