Question

Zeigen Sie, dass (x^m)^{1/n} =(x^{1/n})^m für alle m ∈ Z, n ∈ N und x ∈ R mit x > 0 gilt

Comments

(x^m)^1/n =x^m·1/n= x^1/n·m=1/(x^1/n)^m. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Außerdem gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation.

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Das Wiederholen der Behauptung wird im Allgemeinen nicht als Beweis angesehen.

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Du solltest noch angeben, was du voraussetzen darfst. D.h. die Definitionen und allfällige Gesetze, die schon bewiesen sind.

Answer 1

Zeigen Sie, dass (x^m)^1/n =(x^1/n)^m für alle m ∈ Z, n ∈ N und x ∈ R mit x > 0 gilt 

Da muss man sich zunächst klar machen, wie eine Potenz der Form  a^1/n mit a>0 und n∈ℕ definiert ist. In deinen Unterlagen findest du bestimmt die Definition

a^1/n := ⁿ√(a) = diejenige (eindeutig festgelegte) positive Zahl  w mit wⁿ = a .

Die Sache mit der eindeutigen Bestimmtheit habt ihr vermutlich auch besprochen - ich setze die Eindeutigkeit hier aber mal voraus.

Führen wir nun zwei Hilfsgrößen  w und u ein, nämlich

w:= ⁿ√(x) = x^1/n   und   u:= ⁿ√(x^m)  = (x^m)^1/n

(Weil x>0 vorausgesetzt ist, ist natürlich auch  x^m > 0  und damit der Wurzelterm u definiert und ebenfalls positiv)

Mit diesen Bezeichnungen bleibt jetzt noch nachzuweisen, dass

u = w^m

Dazu kann man nun zunächst zeigen, dass  (u)ⁿ = (w^m)ⁿ .

Wegen der Bijektivität der Funktion  x ↦ xⁿ für positive x folgt dann auch, wie gewünscht, die Gleichung  u = w^m .

Der fehlende Schritt (rot markierte Gleichung) bleibt aber noch durchzuführen:

uⁿ =  ((x^m)^(1/n))ⁿ = (x^m) ^(1/n)·n = (x^m)¹ = x^m = (wⁿ)^m = w^n·m = w^m·n = (w^m)ⁿ  , q.e.d.

Im Detail ist ein solcher Nachweis eben doch einigermaßen umständlich.