Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen unabhängig sind.

Question

Es seien X und Y unabhängige geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter
p. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen min(X, Y ) und X − Y unabhägig sind.

Answer 1

Hallo,

es ist $F_X(z) = P( X \leq z) = 1 - (1-p)^z$ und $F_Y(z) = F_X(z)$, daher schreiben wir einfach $F(z) = F_Y(z) = F_X(z)$.

Für $M = \min(X, Y)$ ist

$F_M(z) = P(M \leq z)$
$= P(\min(X, Y) \leq z)$
$= P(X \leq z \lor Y \leq z)$
$= 1 - P(X > z \land Y > z)$
$= 1 - P(X > z)P(Y > z)$
$= 1 - (1 - P(X \leq z))(1 - P(Y \leq z))$
$= 1 - (1 - F(z))^2$
$= 2F(z) - F^2(z)$.

Für $D = X - Y$ ist außerdem

$F_{M, D}(z) = P(M \leq z \land D \leq z)$
$= P(\min(X, Y) \leq z \land X - Y \leq z)$
$= P((X \leq z \lor Y \leq z) \land X - Y \leq z)$
$= P((X \leq z \land X - Y \leq z) \lor (Y \leq z \land X \leq z + Y))$
$= P(X \leq z \lor X \leq 2z)$
$= P(X \leq 2z)$
$= F(2 z)$
$= 1 - (1-p)^{2z}$
$= (1 - (1-p)^{z})(1 + (1-p)^{z})$
$= F(z) (2 - F(z))$
$= 2F(z) - F^2(z) = F_M(z)$.

Damit ist $P(M|D) = F_{M, D} = F_M = P(M)$ und die Zufallsvariablen $M = \min(X, Y)$ und $D = X - Y$ sind unabhängig.

Grüße

Mister