Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit überprüfen

Question

Hey wie kann ich bei dieser Funktion überprüfen, wie es sich mit Stetigkeit und Differenzierbarkeit verhält?

Answer 1

Funktionen mit Beträgen haben es oft so an sich
das sie nicht diffbar sind

Die linksseitige Steigung ist -0.5.
Die rechtsseitige Steigung ist 0.5

Stetig ist die Funktion.

Answer 2

Stetigkeit

Überprüfe ob gilt

$$ \lim_{x \nearrow 0} f(x) = \lim_{x\searrow 0} f(x)$$ Also ob der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen übereinstimmt.

Wenn ja, dann stetig, wenn nicht, dann nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.

Differenzierbarkeit

Auch hier wieder schauen, ob der  linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen übereinstimmt.

$$ \lim_{x \nearrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}  $$

Wenn ja, dann differenzierbar, wenn nicht, dann nicht differenzierbar.

Comments

Bei Differenzierbarkeit muss ich doch aber ableiten. Wie leitet man den Betrag ab ? Mit deiner Formel weiß ich nicht genau wie ich arbeiten soll...

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Arbeite mit der Definition vom Betrag:

$$  |x| :=\begin{cases}\ \;\;\;\ x &\text{für } x \ge 0\\\ -x &\text{für } x < 0\end{cases}$$

Und wende dann jeden Fall jeweils auf die einseitigen (linksseitigen bwz rechtsseitigen) Grenzwerte an. Dann siehst du schnell, was passiert.