Lagrange Aufgabe mit 2 Nebenbedigungen. K(x,y,z) = 2x^2 + y^2 - 2xy + 3z minimieren

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe gegeben:

K(x,y,z) = 2x^2 + y^2 - 2xy + 3z , diese soll ich minimieren unter folgenden Nebenbedingungen:

1. Nebenbedingung: x-y+z=2

2. Nebenbedingung: x+y-z=4

Daraus ergibt sich folgende Lagrangefunktion:

L(x,y,z) = 2x^2 + y^2 -2xy + 3z + Λ(2-x+y-z) + μ (4-x-y+z)

abgeleitet bekomme ich dann:

1. dL/dx = 4x - 2z - Λ - μ = 0

2. dL/dy = 2y + Λ - μ = 0

3. dL/dΛ = 2 - x + y - z = 0

4. dL/dμ = 4 - x - y + z = 0

Ich habe erstmal 3/4 gemacht und habe rausbekommen y-1=z.

Wie mache ich jetzt weiter, stehe irgendwie auf dem Schlauch.

Answer 1

 

Ich schreibe für die partiellen Ableitungen L_x  ...

G1    L_x  =  4·x - 2·y - λ - μ  = 0

G2    L_y  =  - 2·x + 2·y + λ - μ  = 0

G3    L_z  =  - λ + μ + 3  =  0 

G4    L_λ  =  -x + y - z + 2  = 0

G5    L_μ  =   -x - y + z + 4  =  0

G3 →  μ = λ - 3 ,  in G2 und G1 einsetzen, dann hast du mit G2, G4 und G5 ein 3x3-System mit x,y und z 

Die Lösung des gesamten LGS ist

x = 3   ∧   y = 3/2   ∧   z = 1/2   ∧   λ = 6  ∧   μ = 3

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang jetzt habe ich erst gesehen, dass ich die Kostenfunktion falsch geschrieben habe.

Es ist nicht K(x,y,z) = 2x^2 + y^2 - 2xy + 3z

Sondern: K(x,y,z) = 2x^2 + y^2 - 2xz + 3z

Kannst du mir jetzt vielleicht nochmal helfen.... tut mir leid...

---

L(x,y,z) = 2x2 + y2 -2xz + 3z + Λ(2-x+y-z) + μ (4-x-y+z)

ich erhalte das LGS

4·x - 2·z - λ - μ = 0

2·y + λ - μ = 0

 - 2·x - λ + μ + 3 = 0

-x + y - z + 2 = 0

-x - y + z + 4 = 0

Bei G2+G3  fallen λ und μ raus und du hast eine Gleichung  G6 in x und y

Bei G4+G5 fällt y und z raus und du hast bereits eine Gleichung für  x

Als Gesamtergebnis erhalte ich

x = 3  ∧  y = 3/2  ∧  z = 1/2  ∧  λ = 4  ∧ μ = 7

---

@Wolfgang, kann es sein, dass Lambda=-4 ist? Und dem folgend Lambda2=-7?

Answer 2

Deine Ableitungen Sind falsch und Du brauchst auch noch die Ableitung nach z