G von MxN ist ein Graph genau dann, wenn die Projektionsabbildung pr|G bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Seien M und N nicht leere Mengen und sei pr: MxN -> M eine Projektionsabbildung. Eine Teilmenge G von MxN ist genau dann ein Graph einer Abbildung f:M->N , wenn pr|G eine bijektive Abbildung ist.

Könnte mir irgendwer einen Schubser in die richtige Richtung geben?

Answer 1

Abbildungen $f : M \to N$ müssen linkstotal und rechtseindeutig sein.

Linkstotal: Zu jedem $x\in M$ gibt es ein $y\in N$ mit $f(x) = y$.

Rechtseindeutig: Für alle $x_1, x_2\in M$ mit $x_1 = x_2$ folgt jeweils $f(x_1) = f(x_2)$.

Damit ergibt sich nach Definition, dass $G\subseteq M\times N$ genau dann Graph einer Funktion $f : M\to N$ ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

[1] Zu jedem $x\in M$ gibt es ein $y\in N$ mit $(x, y)\in G$.

[2] Für alle $(x_1, y_1), (x_2, y_2)\in G$ mit $x_1 = x_2$ folgt jeweils $y_1 = y_2$.

Du musst demnach also zeigen, dass die Bedingungen [1] und [2] zusammen äquivalent dazu sind, dass die eingeschränkte Projektionsabbildung $\text{pr}\vert_G : G\to M,\quad (x, y)\mapsto x$ bijektiv ist.

[1] ist äquivalent zur Surjektivität von $\text{pr}\vert_G$.

[2] ist äquivalent zur Injektivität von $\text{pr}\vert_G$.

$\text{pr}\vert_G$ ist genau dann bijektiv, wenn $\text{pr}\vert_G$ surjektiv und injektiv ist.

Comments

Verständnisfrage:

Ich übersehe irgendetwas, weis aber nicht was. Das Ganze könnte doch auch folgendermaßen ausschauen:

      G        ->     M      ->     N

x_1,y_1   ----    x_1   -----   y_1

x_2,y_3   ----    x_2   -----   y_2

                                          y_3

Die Projektionsabbildung wäre bijektiv also zu jedem x in M existiert genau ein (x,y). In G liegt jedes x aus G nur einmal, da es sich um eine Projektionsabbildung auf M dreht. Ein Graph (f) wäre doch G nur mit den Tupeln (x_1,y_1),(x_2,y_2). G ist jedoch Teilmenge des kartesischen Produkts und muss (x_1,y_j)(x_2, y_j) beinhalten wobei y_j ein beliebiges y in N ist. Wieso könnte G in dieser Konstellation nicht (x_2,y_3) statt (x_2, y_2)  beinhalten?