f surjektiv gdw f(X) = Y. Was muss man da noch zeigen?

Question

Seien  X,Y  ≠ ∅ und  f: X → Y eine Abbildung. Man beweise, dass diese beiden Aussagen äquivalent sind:

(i) f ist surjektiv (iii) f(X) = Y. Notiz: Definition der Surjektivität: ∀ y ∈ Y: ∃ x ∈ X: f(x) = y.

Sagt die Definition der Surjektivität nicht schon aus, dass beide Aussagen äquivalent sind? Mir fällt nicht ein, was ich da noch zeigen soll bzw. kann. Über Tipps beziehungsweise Hilfestellungen würde ich mich freuen.

Answer 1

Hallo EC,

Seien  X,Y  ≠ ∅ und f: X → Y
(i) f ist surjektiv
(iii) f(X) = Y
Definition der Surjektivität: ∀ y ∈ Y: ∃ x ∈ X: f(x) = y.
Sagt die Definition der Surjektivität nicht schon aus,  dass beide Aussagen äquivalent sind?

Ja, das  ist so.

f(X) := { y∈Y |  ∃ x ∈ X: f(x) = y }  = Y   ⇔  ∀ y ∈ Y: ∃ x ∈ X: f(x) = y

Gruß Wolfgang