(a)
\(\underline{f_1}\) ist nicht linear. Denn es ist
\(\underline{f_1}(\underline{0}) = \underbrace{(0 - 2\cdot0)}_{=0} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + \underbrace{(0 + 0)}_{=0} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}+\underbrace{(0 - 1)}_{=-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\ne\underline{0}\).
(b)
Für alle \(\underline{x}\in\mathbb{R}^2\) ist
\(\begin{aligned}\underline{f_2}(\underline{x}) &= \begin{bmatrix}x_1- x_2 \\ x_2 + 2 x_1\end{bmatrix}+(x_1+x_2)\begin{bmatrix}3 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1- x_2 \\ 2 x_1+x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3x_1+3x_2 \\ x_1+x_2\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}4x_1+2x_2 \\ 3x_1+2x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \end{bmatrix}\text{.}\end{aligned}\)
Damit ist \(\underline{f_2}\) linear mit Abbildungsmatrix
\(\underline{\underline{A}}_{\underline{f_2}} = \begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 2\end{bmatrix}\).
(c)
Für alle \(\underline{x}\in\mathbb{R}^2\) ist
\(\underline{f_3}(\underline{x}) = 2 x_1 - 5x_2 = \begin{bmatrix}2 & -5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}\).
Damit ist \(\underline{f_3}\) linear mit Abbildungsmatrix
\(\underline{\underline{A}}_{\underline{f_3}} = \begin{bmatrix}2 & -5\end{bmatrix}\).
(d)
\(\underline{f_4}\) ist nicht linear. Denn es ist
\(\underline{f_4}(2\cdot\frac{\pi}{2}) = \underline{f_4}(\pi) = \begin{bmatrix} \sin(\pi) \\ \sin(2\pi) \\ \sin(3\pi) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\).
Wenn \(f_4\) linear wäre müsste andererseits jedoch auch
\(\underline{f_4}(2\cdot\frac{\pi}{2}) = 2 \underline{f_4}(\frac{\pi}{2}) = 2 \begin{bmatrix} \sin(\frac{\pi}{2}) \\ \sin(2\cdot\frac{\pi}{2}) \\ \sin(3\cdot\frac{\pi}{2}) \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}\)
sein.
