Es geht darum zum folgendem Vektorraum die Basis zu bestimmen:
$$ \Bigg\{\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}\in \mathbb{R^4}:x_1+3x_2+2x_4=0, 2x_1+x_2+x_3=0\Bigg\}$$
Mein Weg war zunächst mit beiden angebenen Bedingungen zu arbeiten, indem ich sie in Form einer Matrix umgeformt habe, also:
$$ \begin{aligned} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 &\rm 0 \\2 & 1 &1 & 0 &\rm 0 \end{array}\right) \end{aligned} $$ $$ \stackrel{2\cdot I-II}{\Leftrightarrow} $$ $$ \begin{aligned} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 2 &\rm 0 \\0 & 5 &-1 & 4 &\rm 0 \end{array}\right) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} I\quad x_1+3x_2+0x_3+2x_4&=0\\ II \quad \qquad5x_2-1x_3+4x_4&=0 \Leftrightarrow \underline{x_3=5x_2+4x_4} \stackrel{in \ \ I}{\Rightarrow} \underline{x_1=-3x_2-2x_4}\end{aligned} $$ Insgesamt bin ich dann auf das hier gekommen: $$ \mathbb{B}=\Bigg\{\begin{pmatrix}-3x_2-2x_4\\x_2\\5x_2+4x_2\\x_4 \end{pmatrix}\Bigg\} $$ Die Lösung dieser Aufgabe sagt aber, dass diese beiden Vektoren $$ \begin{pmatrix}3\\-1\\-5\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix} $$ eine Basis bilden. Warum? Ich habe doch bei meinem Weg einen Vektor gebaut, der beide Bedingungen erfüllt.
