Stetigkeit in mehreren Variablen. Definition von linearer Abbildung f:...., f(a*x) = a*f(x) , f(x+y) = f(x) + f(y)

Question

Aufgabe (Stetigkeit in mehreren Variablen):

Eine Abbildung $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ heißt linear, wenn
$$f(a \cdot x)=a \cdot f(x), \quad f(x+y)=f(x)+f(y)$$
für alle $x, y \in \mathbb{R}^{n}$ und alle $a \in \mathbb{R}$ gilt. Der Einfachheit halber arbeiten wir im Folgenden mit $n=m=2$
(a) Verwenden Sie die obige Definition um zu zeigen, dass jede lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ stetig ist.
(b) Eine Abbildungen $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ist genau dann linear, wenn sie von der Form $f(x)=A x$ für eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ist. Verwenden Sie diese Charakterisierung und Satz 5.8.4, um einen weiteren Beweis dafür zu geben, dass jede lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ stetig ist.

Comments

Hallo

 schreib doch mal die Stetigkeit von f(x,y) hin  kannst du die allgemeine lineare Gl hinschreiben? Dann sage wo du hängen bleibst.

gruß lul