Hallo Sandra,
Du musst hier einfach die Eigenschaften nachrechnen. Da gibt's nicht viel zu beachten.
Als Beispiel mach ich mal die b)
1.Positive Definitheit:
Für x,y∈R ist
d(x,y)=∣x−y∣≥0
Außerdem
d(x,y)=0⇔∣x−y∣=0⇔∣x−y∣=0⇔x=y
2. Symmetrie
Seien x,y∈R, dann gilt
d(x,y)=∣x−y∣=∣y−x∣=d(y,x)
3. Dreiecksungleichung
x,y,z∈R
d(x,z)=∣x−z∣=∣x−y+y−z∣≤∣x−y∣+∣y−z∣≤∣x−y∣+∣y−z∣=d(x,y)+d(y,z)
Für die erste Ungleichung verwendest du die Dreiecksungleichung vom Betrag. Für die zweite:
a,b≥0
a+b≤a+2ab+b=(a+b)2=a+b
Also ist d eine Metrik. Bei den anderen beiden ist das Vorgehen ähnlich.