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Verwenden Sie die Potenzreihenmethode um folgende Grenzwerte zu berechnen

lim x->0  (cos(x)-1)/x2


lim x->-5  (2ex+5 -2)/(x+5)


lim x->0  (∑∞n=3)/x6

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$$\frac{-1 + cos(x)}{x^2}=\frac{-1+\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}}{x^2}=\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}}}{x^2}$$

$$=(-1)\frac{\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}}{x^2}=(-1)\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2(n-1)}}{(2n)!}}$$

Hier muss man wohl irgendwie versuchen auf

$$=-1\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2(n-1)}}{(2(n-1))!}}$$

zu kommen. Vielleicht eine zweite Reihe über Cauchy-Produkt oder so ???

Denn es ist ja nach Indexverschiebung

$$=-1\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^{2(n-1)}}{(2(n-1))!}}=-\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}=-1cos(x)$$

und das hat den Grenzwert -1 .

Die gegebene Reihe hat aber Grenzwert $$ \frac{-1}{2}$$

Also scheint dann noch was drinzustecken mit Grenzwert 1/2.

Fällt mir so spontan aber nix ein.

von 228 k 🚀

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