Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Question

Ich habe eine frage zu dieser Aufgabe:

Ein Roulettspieler setzt seinen Einsatz von 10 Euro auf eine waagerechte Reihe von drei Zahlen. Fällt die Kugle auf eine dieser Zahlen , so wird der 12fache Einsatz ausgezahlt. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Ich sitze nun seit 3 Stunden an der Aufgabe und verstehe nicht wie ich den Rechenweg dazu finden soll.

Hat jemand einen Ansatz oder kann mir ganz plausibel erklären wie das funktioniert?

Answer 1

für den Gewinn X (in Euro) bei einem Spiel gibt es zwei mögliche Ergebnisse x_k                                (für die Auszahlung wären die beiden möglichen Ergebnisse  0 und 120)  

Da es beim Roulette 37 Zahlen gibt, von denen hier 3 einen Gewinn ergeben, hat man folgende Wahrscheinlichkeiten:

xk	-10	110
P(X=xk)	34/37	3/37

\(Erwartungswert  \text{: } \text{ } \text { }\)

                 \(  E(X)=\sum\limits_{k=1}^{n} x_k·P(X=x_k)=\frac { 34}{ 37 }·(-10)+\frac { 3}{ 37 }·110 ≈ -0,27\) 
\(arithmetisches Mittel\text{: } \text{ } \text{ }\overline{x}=\frac { 1 }{ n }\cdot\sum\limits_{k=1}^{n} x_k=\frac { 1}{ 2 }·(-10+110)=50\)

\(Varianz\text{: }\text{ }\text{ }\text{ } s^2 = \frac { 1}{ n } \cdot\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k - \overline{x})^2 =\frac { 1 }{ 2 }·((-10-50)^2+(110-50)^2)=3600 \)

\(Standardabweichung\text{:} \text{ } \text{ }s =\sqrt{s^2}= 60\)

Gruß Wolfgang