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Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ. Man bestimme
die Dichte von Zufallsvariable Y = min(X, X2).

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Hallo,

es ist \( f_X(x) = \lambda \exp(- \lambda x) I_{x \geq 0}(x) \) und \( f_{X^2}(x) = \frac{\lambda \exp(-\lambda \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} \). Wir merken zunächst die Verteilungsfunktionen \( F_X(x) = 1 - \exp(- \lambda x) \) und \( F_ {X^2}(x) = 1 - \exp(- \lambda \sqrt{x}) \) an.

Es ist \( \min(x, x^2) = x \) für \( x \geq 1 \) und \( \min(x, x^2) = x^2 \) für \( x \leq 1 \).

Daraus folgt für \( Y = \min(X, X^2) \), dass \( f_Y(x) = f_X(x) \) für \( x \geq 1 \) und \( f_Y(x) = f_{X^2}(x) \) für \( x \leq 1 \) oder insgesamt

\( f_Y(x) = I_{x < 1} f_{X^2}(x) + I_{x \geq 1} f_{X}(x) \)

ist. Ein ähnliches Ergebnis erreicht man über die Herleitung mit Hilfe der Verteilungsfunktionen:

\( F_Y(x) = P(\min(X, X^2) \leq x) \)
\( = I_{x \leq 1}(x) P(\min(X^2 \leq x)) + I_{x > 1}(x) P(\min(X \leq x)) \)
\( = I_{x < 1}(x) F_{X^2}(x) + I_{x \geq 1}(x) F_X(x) \).

Dass \( F_Y(x) \) bei \( 1 \) keinen Sprung hat, lässt sich leicht nachvollziehen und ist konsistent mit dem Fakt, dass es sich bei \( Y \) um eine stetige Zufallsvariable handelt (https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion). Wegen \( f_X(1) = f_{X^2}(1) \) ist \( \frac{dF_Y(x)}{dx} \) darüberhinaus bei \( 1 \) wohldefiniert und man kann \( f_Y(x) = \frac{dF_Y(x)}{dx} \).

Grüße

Mister

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