Unstetigkeit von abschnittsweiser Funktion

Question

Sei
$$f(x, y) = ( x y^2/(x^2+y^4)$$für $$(x, y) \ne (0, 0)$$

und
0 für $$(x, y) = (0, 0)$$
Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die
Richtungsableitung $$\frac{\partial f}{\partial v} (0,0)$$ für jede Richtung v= (cos a, sin a ) für $$0 \leq a < 2$$ existiert.

Comments

Tipp:  Für alle $z\ne0$ gilt $f(z^2,z)=\frac12$.

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Vom Duplikat:

Titel: Im Nullpunkt unstetig

Stichworte: mittelwertsatz,differentialrechnung

sei f(x)=  xy²/(x²+y⁴) für (x,y)≠(0,0) ;

              0                     für (x,y) = (0,0)

Zeigen Sie , dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die Richtungsableitung

δ f /δ v (0,0) für jede Richtung v=(cosα, sinα) für 0<=α<2π existiert.

Answer 1

Mit dem Tipp kannst du eine Folge von Punkten  konstruieren, die

den Grenzwert (0;0) hat, aber die Folge der Funktionswerte

geht gegen 1/2 und das ist nicht gleich f(0;0).

Comments

D.h man nähert sich über die Parabel an: Also

$$lim_{ (z^2,z) \rightarrow (0,0)} z^4/(z^4+z^4) = 1/2$$

Also unstetig.

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Wie berechnet  man dann die Richtungsableitung:

$$f_v(0,0)= lim _{t \rightarrow 0} \frac{ f((0,0) + t (cos a, sin a) - f(0,0) }{t}$$

$$= lim _{t \rightarrow 0} \frac{ t^3 cos (a) sin ^2(a) }{(t^2 cos^2 (a) + t^4 sin^4(a) )t}$$ $$= lim _{t \rightarrow 0} \frac{ cos(a) sin^2(a)}{cos^2 (a) + t^2 sin^2(a)} = \frac{sin^2 (a)}{ cos (a)}$$

Ist das richtig?

Answer 2

f(x, y) = x·y²/(x² + y⁴)

Entlang (t, t) für t --> 0

t·t²/(t² + t⁴) = t/(t² + 1) = 0

Entlang (t, √t) für t --> 0

t·√t²/(t² + √t⁴) = 1/2

Wenn wir uns auf unterschiedlichen Wegen der Null nähern dann darf kein Unterschiedlicher Grenzwert heraus kommen. Damit ist die Funktion nicht stetig an der Stelle (0, 0).