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Sei
f(x,y)=(xy2/(x2+y4) f(x, y) = ( x y^2/(x^2+y^4) für (x,y)(0,0) (x, y) \ne (0, 0)

und
0 für (x,y)=(0,0) (x, y) = (0, 0)
Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die
Richtungsableitung fv(0,0) \frac{\partial f}{\partial v} (0,0) für jede Richtung v= (cos a, sin a ) für 0a<20 \leq a < 2 existiert.

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Tipp:  Für alle z0z\ne0 gilt f(z2,z)=12f(z^2,z)=\frac12.

Vom Duplikat:

Titel: Im Nullpunkt unstetig

Stichworte: mittelwertsatz,differentialrechnung

sei f(x)=  xy2/(x2+y4) für (x,y)≠(0,0) ;

              0                     für (x,y) = (0,0)


Zeigen Sie , dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die Richtungsableitung

δ f /δ v (0,0) für jede Richtung v=(cosα, sinα) für 0<=α<2π existiert.

2 Antworten

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Mit dem Tipp kannst du eine Folge von Punkten  konstruieren, die

den Grenzwert (0;0) hat, aber die Folge der Funktionswerte

geht gegen 1/2 und das ist nicht gleich f(0;0).

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D.h man nähert sich über die Parabel an: Also

lim(z2,z)(0,0)z4/(z4+z4)=1/2 lim_{ (z^2,z) \rightarrow (0,0)} z^4/(z^4+z^4) = 1/2

Also unstetig.

Wie berechnet  man dann die Richtungsableitung:

fv(0,0)=limt0f((0,0)+t(cosa,sina)f(0,0)t f_v(0,0)= lim _{t \rightarrow 0} \frac{ f((0,0) + t (cos a, sin a) - f(0,0) }{t}

=limt0t3cos(a)sin2(a)(t2cos2(a)+t4sin4(a))t = lim _{t \rightarrow 0} \frac{ t^3 cos (a) sin ^2(a) }{(t^2 cos^2 (a) + t^4 sin^4(a) )t} =limt0cos(a)sin2(a)cos2(a)+t2sin2(a)=sin2(a)cos(a) = lim _{t \rightarrow 0} \frac{ cos(a) sin^2(a)}{cos^2 (a) + t^2 sin^2(a)} = \frac{sin^2 (a)}{ cos (a)}


Ist das richtig?

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f(x, y) = x·y2/(x2 + y4)

Entlang (t, t) für t --> 0

t·t2/(t2 + t4) = t/(t2 + 1) = 0

Entlang (t, √t) für t --> 0

t·√t2/(t2 + √t4) = 1/2

Wenn wir uns auf unterschiedlichen Wegen der Null nähern dann darf kein Unterschiedlicher Grenzwert heraus kommen. Damit ist die Funktion nicht stetig an der Stelle (0, 0).

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