Seif(x,y)=(xy2/(x2+y4) f(x, y) = ( x y^2/(x^2+y^4) f(x,y)=(xy2/(x2+y4)für (x,y)≠(0,0) (x, y) \ne (0, 0) (x,y)=(0,0)
und0 für (x,y)=(0,0) (x, y) = (0, 0) (x,y)=(0,0)Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber dieRichtungsableitung ∂f∂v(0,0) \frac{\partial f}{\partial v} (0,0) ∂v∂f(0,0) für jede Richtung v= (cos a, sin a ) für 0≤a<20 \leq a < 20≤a<2 existiert.
Tipp: Für alle z≠0z\ne0z=0 gilt f(z2,z)=12f(z^2,z)=\frac12f(z2,z)=21.
Vom Duplikat:
Titel: Im Nullpunkt unstetig
Stichworte: mittelwertsatz,differentialrechnung
sei f(x)= xy2/(x2+y4) für (x,y)≠(0,0) ;
0 für (x,y) = (0,0)
Zeigen Sie , dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die Richtungsableitung
δ f /δ v (0,0) für jede Richtung v=(cosα, sinα) für 0<=α<2π existiert.
Mit dem Tipp kannst du eine Folge von Punkten konstruieren, die
den Grenzwert (0;0) hat, aber die Folge der Funktionswerte
geht gegen 1/2 und das ist nicht gleich f(0;0).
D.h man nähert sich über die Parabel an: Also
lim(z2,z)→(0,0)z4/(z4+z4)=1/2 lim_{ (z^2,z) \rightarrow (0,0)} z^4/(z^4+z^4) = 1/2 lim(z2,z)→(0,0)z4/(z4+z4)=1/2
Also unstetig.
Wie berechnet man dann die Richtungsableitung:
fv(0,0)=limt→0f((0,0)+t(cosa,sina)−f(0,0)t f_v(0,0)= lim _{t \rightarrow 0} \frac{ f((0,0) + t (cos a, sin a) - f(0,0) }{t} fv(0,0)=limt→0tf((0,0)+t(cosa,sina)−f(0,0)
=limt→0t3cos(a)sin2(a)(t2cos2(a)+t4sin4(a))t = lim _{t \rightarrow 0} \frac{ t^3 cos (a) sin ^2(a) }{(t^2 cos^2 (a) + t^4 sin^4(a) )t} =limt→0(t2cos2(a)+t4sin4(a))tt3cos(a)sin2(a) =limt→0cos(a)sin2(a)cos2(a)+t2sin2(a)=sin2(a)cos(a) = lim _{t \rightarrow 0} \frac{ cos(a) sin^2(a)}{cos^2 (a) + t^2 sin^2(a)} = \frac{sin^2 (a)}{ cos (a)} =limt→0cos2(a)+t2sin2(a)cos(a)sin2(a)=cos(a)sin2(a)
Ist das richtig?
f(x, y) = x·y2/(x2 + y4)
Entlang (t, t) für t --> 0
t·t2/(t2 + t4) = t/(t2 + 1) = 0
Entlang (t, √t) für t --> 0
t·√t2/(t2 + √t4) = 1/2
Wenn wir uns auf unterschiedlichen Wegen der Null nähern dann darf kein Unterschiedlicher Grenzwert heraus kommen. Damit ist die Funktion nicht stetig an der Stelle (0, 0).
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