Scheitelpunktformen bestimmen

Question

Übungsaufgaben für den bevorstehenden Test, die ich kaum verstehe :,)

1. f (x)=-(1/2)x^2+3x+2

2. f (x)=-3x^2+6x+1

Answer 1

den Scheitelpunkt bestimmt man mit der quadratischern Ergänzung,

y=- 1/2 x² +3x +2       |- 1/2 ausklammern

y=- 1/2 *( x² -6x -4)  | quadratisch ergänzen   6/2 =3

y=  -1/2 ( x² -6x  +3² -3²  -4) | zusammenfassen

y= -1/2  ( (x-3)² -9 -4)         | ein Klammer wieder lösen

y= -1/2  (x-3)² +6,5        Scheitelpunkt   S( 3| 6,5)

y= -3x² +6x +1          | (-3) ausklammern , Achtung Vorzeichen

y= -3 (x² -2x -1/3 )           |  quadt.ergänzen  2/2=1

y=  -3 (x² -2x + 1² -1² -1/3)

y=  -3( ( x-1)² -1 -1/3)    | eine Klammer lösen

y= -3 (x-1)² +4             S( 1| +4)

Answer 2

Entweder du lernst die Quadratische Ergänzung (empfehlenswert), oder du lernst einfach die Formel auswendig.

Quadratische Ergänzung:

0=-(1/2)x^{2}+3x+2

0=-(1/2)*(x^2-6x)+2

0=-(1/2)*(x^2-6x+(6/2)^2-(6/2)^2)+2

0=-(1/2)*(x-3)^2-(6/2)^2*(-(1/2))+2

0=-(1/2)*(x-3)^2+4.5+2

0=-(1/2)*(x-3)^2+6.5

Formel:$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$ Erinnere dich hier daran, dass \(f(x)=ax^2+bx+c\) die Normalform einer quadratischen Gleichung ist. Nehmen wir jetzt \( f(x)=-3x^2+6x+1\). Hier ist, wenn du das oben ablesen kannst \(\text{a=-3  b=6 c=1}\). Setze das einfach in die Formel ein:$$-3\left(x+\frac{6}{2\cdot (-3)}\right)^2+\frac{4\cdot (-3)\cdot 1-6^2}{4\cdot (-3)}$$ Löse die unschönen Sachen auf (a.k.a Taschenrechner betätigen) und erhalte:$$f(x)=-3(x-1)^2+4$$

Beachte:

Vielleicht will dein Lehrer aber wirklich die quadratische Ergänzung sehen! Man muss aber auch dazu sagen, dass wenn du Zeitdruck hast, z. B. Morgen die Arbeit ist; du es nicht mehr schaffst die QE zu lernen, ist die Formel eine gute Option....

Answer 3

y=-(1/2)x²+3x+2 |·( - 2)

-2y=x²-6x-4       |+13

13-2y=x²-6x+9

13-2y=(x-3)²     | - 13

-2y=(x-3)²-13| ·(-1/2)

y= -1/2(x-3)²+6,5

2) y=-3x²+6x+1 | ·(-1/3)

-y/3=x²-2x-1/3   | +4/3

4/3-y/3=x²-2x+1

4/3-y/3=(x - 1)²| ·(-3)

- 4+y=-3(x-1)² | +4

y=-3(x-1)²+4