Parabel mit Integralrechnung

Question

Hey

Bestimme die reelle Zahl a>3 so, dass die Gerade g: x=a mit den beiden Parabeln ein Flächenstück A2 begrenzt sodass gilt: A1=A2

y1=x^2/2

y2=-1/3 * x^3 +1.5 x^2

A1= 2.25

Answer 1

Man hat $$ f(x)=\frac{1}{2}x^2\\g(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2 $$

Differenzenfunktion aufstellen, da wir die Fläche zwischen beiden Graphen haben wollen. f ist für x>3 größer als g.

$$ d(x)=f(x)-g(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2 $$

Jetzt sucht man mittels Integral eine Stelle a>3, sodass von x=3 bis a dieselbe Fläche vorliegt.

$$ 2,25\stackrel{!}{=}\int_3^a{\Bigg(\frac{1}{3}x^3-x^2\Bigg)}dx=\Bigg[\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3 \Bigg]_3^a=\frac{1}{12}a^4-\frac{1}{3}a^3+2,25\\ \Leftrightarrow \frac{1}{12}a^4-\frac{1}{3}a^3=0 \Leftrightarrow a^4-4a^3=0\qquad a_{1,2,3}=0\quad a_4=4 $$

a4 ist als einzigste Lösung sinnvoll.