Zeige a ≡ b mod 5 ist Äquivalenzrelation auf Z und bestimme Äquivalenzklassen

Question

Ich weiß nicht, ob meine Lösung so stimmt, daher bitte ich, um eine Bestätigung oder eine Hilfestellung / Korrektur.

Es handelt sich um eine Äquivalenzrelation, da folgendes gilt:
1) Reflexivität. Zu zeigen a ≡ a mod 5,
d.h. es existiert ein k mit a - a = 5k mit k € Z.
Bsp.: 0 - 0 = 5 * 0
2) Symmetrie. Zu zeigen a ≡ b mod 5 => b ≡ a mod 5,
also a ≡ b mod 5  -> 5k = a - b mit k aus Z => 5 * (-k) = b - a mit -k € Z
-> b ≡ a mod 5
3) Transivität. Zu zeigen a ≡ b mod 5 und b ≡ c mod 5 -> a ≡ c mod 5.
Das heißt 5k = a - b und 5l = b - c -> a - b + b - c = 5 (k+l) = a - c
-> a ≡ c mod 5.

Die Menge aller Äquivalenzklassen [b] mod 5 = {a € Z: a = 5k + b mit k € Z und 0 <=  b <= (5-1)} besteht aus
den 5 Äquivalenzklassen mit b als Repräsentant. b € {0,1,2,3,4} sind Repräsentanten der jeweiligen Äquivalenzklassen, aber nicht b = 5, da es sich bei a = 5k + 5 um ein Vielfaches von 5 handeln würde und somit der Rest b = 0 wäre.

Ist das so korrekt? Muss sich bei 2) Symmetrie und 3) Transivität jeweils Beispiele machen oder reicht das so?
Habe ich das mit den Äquivalenzklassen so richtig und ausreichend aufgeschrieben?

Answer 1

Man könnte auch sagen:

!. Reflexivität: Jede Zahl lässt beim Teilen durch 5 den gleichen Rest, wie sie selbst.

2. Symmetrie: Wenn a und b den gleichen Rest beim Teilen durch 5 haben, dann haben auch b und a den gleichen Rest beim Teilen durch 5.

3. Transitivität: Wenn a und b den Rest r beim Teilen durch 5 haben sowie b und c den Rest r beim Teilen durch 5 haben, dann haben auch a und c den  Rest r beim Teilen durch 5.