Länge des Kurvenstücks berechnen

Question

Berechnen Sie die Länge des Kurvenstücks

Answer 1

der Ansatz ist.

$$ L=\int_a^b{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt} $$

Dann ist :

$$ x'(t)=-18(4t+1)^{\frac{1}{2}} \\ y'(t)=-36t$$

Mit den Grenzen eingesetzt ergibt das:

$$ L=\int_2^6{\sqrt{324(4t+1)+1296t^2}}dt\\=\int_2^6{\sqrt{1296t^2+1296t+324}}dt\\=18\cdot \int_2^6\sqrt{4t^2+4t+1}dt\\=18\cdot\int_2^6{\sqrt{(2t+1)^2}}dt\\=18 \cdot \int_2^6{2t+1}dt\\=18\cdot[t^2+t]_2^6=\underline{\underline{648}} $$

Answer 2

x ' (t) = -18*√(4t+1)    und   y ' (t) = -36t also

|| (x'(t),y'(t))|| = √ (324(4t+1)+1296t^2) = √(1296t^2 +1296t +324)

=√(324*(2t+1)^2 ) =  18*(2t+1)

Denn im Bereich von 2 bis 6 ist das nicht negativ

Also ist die Kurvenlänge

Integral von 2 bis 6 über  18*(2t+1) dt  = 648.

Answer 3

L= ∫ √ ((x')^2 +(y')^2)) (von 2 bis 6)

=∫18 √((1 + 2 t)^2) dt = 648 (von 2 bis 6)