Lineare Unabhängigkeit im R-Vektorraum über Körper Q

Question

Wie zeigt man im R vektorraum über Körper Q die lineare Unabhängigkeit von folgenden Beispielen?

a) {2, wurzel 5}

b) {wurzel 5,wurzel 10}

Answer 1

a) {2, wurzel 5}

wären sie lin. abhängig, dann gäbe es ein x∈ℚ mit 2*x=√5

Gibt es nicht, also lin. unabh.

b) {wurzel 5,wurzel 10}

Entsprechend  x*√5 =√10 , da wäre x=√2 , also nicht in Q,

wieder lin. unabh.

Answer 2

Wenn die Vektoren (2;√5) und (√5:√10) linear abhängig wären, gäbe es ein k, sodass (2;√5)=k·(√5;√10). Dann müsste 2=k√5 bzw. (1) k=2/√5 und √5=k√10 bzw. (2) k=√(1/2) sein. Gleichsetzen von (1) und (2) ergibt eine falsche Aussage. Keine lineare Abhängigkeit, d.h.linear unabhängig.

Answer 3

a) Angenommen 2 und √5 wären linear abhängig. Sei a, b ∈ ℚ mit a·2 + b·√5 = 0 und a ≠ 0 oder b ≠ 0.

Dann ist b ≠ 0, weil a·2 ≠ 0 falls a ≠ 0 ist.

Es muss also √5 = -a/b · 2 sein.

Wegen 2 ∈ ℚ und √5 ∈ ℝ\ℚ muss dann auch -a/b ∈ ℝ\ℚ. Weil ℚ ein Körper ist, ist dann a ∈ ℝ\ℚ  oder b ∈ ℝ\ℚ. Das ist ein Widerspruch zu a,b ∈ ℚ.

b) Analog zu a) unter Hinzunahme von Wurzelgesetzen.