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Wir betrachten in ℝdie Vektoren v1 =(1,1,0), v2 =(0,1,1), v3 =(0,0,1) , v4 =(1,0,0).
Sei U1 = L(v1, v2) die lineare Hülle von v1, v2 und sei U2 = L(v3, v4). Geben Sie eine Basis
für  U1 ∩ U2 und eine Basis für U1 + U2 an.


Bisher habe ich da U1+U2:= {v1+v2+v3+v4| v1,v2 ∈ U1; v3,v4 ∈ U2}

--> (1,1,0)+(0,1,1)+(0,0,1)+(1,0,0) = (2,2,2)

Ist das richtig?? Habe das Thema nämlich kein bisschen verstanden, trotz Skript. Und was muss ich noch machen ??

Wäre super, wenn mir jemand da behilflich sein könnte!!

Danke im Voraus!!:)

von

1 Antwort

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  Berechnen wie den Durchschnitt :


     ß1  v1  +  ß2  v2  =  ß3  v3  +  ß4  v4      (  1  )


   Führen wir einen Koeffizientenvergleich nach den drei Koordinaten durch.


             ß1  =  ß4       (  2a  )

              ß1  +  ß2  =  0        (  2b  )

              ß2  =  ß3       (  2c  )


     Setze etwa ß1 = 1 , dann folgt ß2 = ß3 = ( - 1 ) , ß4 = 1 .  Jetzt bilde mal den Vektor


         v1  -  v2  =  (  1  |  0  |  -  1  )      (  3a  )


       Probe


      v4  -  v3  =  Ditto  ok     (  3b  )


    Du verstehst es wesentlich besser, wenn du die Anschauung zu Hilfe nimmst.  U1 und U2 sind jeweils von zwei  Vektoren erzeugt, also Ebenen im Raum. Und die Schnittmenge zweier Ebenen ist ihre  ===>  Knotenlinie;  ( 3a ) ist quasi der Richtungsvektor dieser Geraden.

   Ausgangspunkt deiner Aufgabe in ( 1 ) ist die Parameterform ( PF ) von U1;2  ;  ß1;2 sind die ( lokalen ) Parameter von U1 so wie ß3;4 von U2 .  Ich tue jetzt etwas, was nicht Teil deiner Aufgabe ist, aber wesentlich zur Klärung beiträgt;  die PF der Ebene rechne ich in eine ( quasi konvertierbare ) Koordinatenform ( KF ) um:


     U1  =  a  x  +  b  y  +  c  z  =  c1  =  const       (  4a  )


   Es ist nämlich ziemlich misslich -  der Angelsachse würde sagen " an alkward structure "  , wenn du in einem Raum mit drei Dimensionen ein LGS  wie ( 2a-c ) mit vier Parametern lösen sollst.  Wenn wir erst die KF der beiden Ebenen U1;2 haben, können wir sie gleich setzen und erfahren die Koordinatendarstellung des Durchschnitts.  Nimm einmal einen unbestimmten Punkt  P  €  U1  an


       P  :=  (  x  |  y  |  z  )      (  4b  )


     Dann solltest du als Student spontan einsehen, was die armen überforderten Schüler " als " so beutelt.   Die  KF  von U1 ist doch dadurch gegeben, dass Determinante ( 4c ) verschwindet:


         det  (  v1  |  v2    P  )  =  0       (  4c  )


      Denn die Bedingung war ja gerade, dass P in U1 liegt, komplanar mit v1;2 ist und mithin linear abhängig von v1;2 .

   Eine Determinante ist doch weiter nichts als eine Tabelle, die du nur richtig füllen musst:



                    |         1       0       x    |

      det  =     |         1       1       y    |        =   0         (  5a  )  

                    |         0       1       z    |



     det = ( 1 * 1 - 1 * 0 ) x + ( 0 * 0 - 1 * 1 ) y + ( 1 * 1 - 0 * 1 ) z   =  0     (  5b  )

           U1  =  x  -  y  +  z  =  0     (  5c  )     (  Probe ! )


    In  (  5c  )  wurde Onkel Sarrus verwendet.  Und jetzt - weil es so schön war - wiederholen wir das Spielchen gleich nochmal für U2 .




                  |        0      1      x    |

      det  =    |        0      0      y    |        =  0           (  6a  ) 

                   |        1      0      z    |



     Hier bietet sich an Entwickeln nach der   2. Zeile oder der 1. oder 2. Spalte.  Das Günstigste ist tatsächlich die erste Möglichkeit, weil wir dann gleich den Koeffizienten von y bekommen.



       det  =  -  y    |    0     1     |     =  0   ===>  U2  =  y  =  0     (  6b  )

                           |    1     0     |


     Und jetzt vergleiche mal mit dem Wirrwarr aus ( 2a-c ) ; wenn du ( 5c ) schneidest mit ( 6b )  folgt unmittelbar  (  3a  )

   Jetzt war aber noch nach dem Summenraum U1 + U2 gefragt.  Irgendwo ist anschaulich klar, dass die Summe aus zwei Ebenen immer wieder den ganzen Raum ergeben muss; v4 und v3 ( in dieser Reihenfolge ) entsprechen ja bereits den kanonischen Einheitsvektoren e_x  bzw.  e_z .   Und e_y ist dann v2 - v3 .

   Doch; nette Aufgabe .

von 5,5 k

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