Eigenmann Aufgabe, Beweisproblem

Question

Aufgabe:

Im Quadrat ABCD mißt AB= 60, AM=30, BN=40.

Berührt der Kreis um D durch A die Gerade MN ?

Mit Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 2.1.3, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 27

Problem/Ansatz:

ich komme bei folgender Aufgabe nicht auf die Lösung und würde mich freuen falls ihr mir helfen könntet. Es handelt sich um eine Aufgabe von P. Eigenmann.

Answer 1

Im Quadrat ABCD mißt AB= 60, AM=30, BN=40.
Steigung Gerade = 40 / 30 = 4/3
Schnittpunkt Gerade M
M ( 30 | -60 )
-60 = 4/3 * 30 + b
-60 = 40 + b
b = -100
Geradengleichung
g ( x ) = 4/3 * x - 100

Kreisgleichung
60^2 = y^2 + x^2
y^2 = 3600 - x^2
y = ± √ ( 3600 -x^2 )
In unserem Fall
y = - √ ( 3600 -x^2 )
1.Ableitung / Steigung
y ´ = -2x / ( -2 * √ ( 3600 -x^2 ) )
y ´ = - / √ ( 3600 -x^2 )
Falls die Gerade eine Tangente ist müssen
die Steigungen übereinstimmen.
x / √ ( 3600 -x^2 ) = 4/3
x = 48
y = - √ ( 3600 -x^2 )
y = - √ ( 3600 - 48^2 )
y = -36
S ( 48 | -36 )
Liegt der Punkt auf der Geraden
-36 = 4/3 * 48 - 100
-36 = -36
S liegt sowohl auf dem Kreis als auch
auf der Geraden.
Im Punkt S haben Kreis und Gerade
dieselbe Steigung.
S ist ein Berührpunkt.

Comments

Danke für die echt ausführliche Lösung

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Answer 2

Ja, MN ist eine Tangente an den Kreis durch A mit Mittelpunkt D.

Lege die Konstruktion in ein Koordinatensystem. Dann ist B(60 | 0), D(0 | 60), M(30 | 0) und N(60 | 40). Wir können die Gerade durch M und N mit der Funktion f: R -> R, f(x) = 4/3 * x - 40 beschreiben. Alle Punkte auf dem Kreis haben den gleichen Abstand zu D.

Suche jetzt einen x-Wert, sodass der Punkt (x | f(x)) zu D den Abstand 60 (Seitenlänge des Quadrats und Radius des Kreises) hat. Dieser Punkt ist dein Berührpunkt.

Comments

habe das so ähnlich gemacht, also habe eine Geradengleichung und für den Kreis eine Gleichung aufgestellt, jedoch kam ich darauf das sie sich nicht schneiden. Hast du eventuell eine Rechnung wie du darauf kommst ?

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Ja, der Abstand von D zur Geraden ist ja $$d(A, f) = \sqrt{(x - 0)^2 + \left( \frac{4}{3}x - 40 - 60\right)^2}$$ und wir wollen, dass d(A, f) = 60 gilt. Jetzt quadrierst du beide Seiten, löst die Klammern mit der binomischen Formel auf und bekommst eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der pq-Formel erledigst.

Answer 3

Aufgaben dieses Autors zeichnen sich in der Regel dadurch aus, dass sie elementar, also ohne den Apparat der Analysis gelöst werden können.

Hier etwa folgendermaßen :

Aus der Ähnlichkeit des roten und des grünen sowie des roten und des blauen Dreiecks ergeben sich die angegebenen Maßzahlen und für die Hypotenuse EF somit EF = √(100^2 + 75^2) = 125 .
Aus der Flächenbetrachtung h·EF = ED·FD ergibt sich  h = 100·75/125 = 60

Comments

Aufgaben dieses Autors zeichnen sich in der Regel dadurch aus, dass sie elementar, also ohne den Apparat der Analysis gelöst werden können.

Stimmt, aber auch so geht es einfacher. Wählt man \(D\) als Ursprung eines Koordinatensystems und \(DC\) als dessen 1.Koordinatenrichtung, so ist die Hessesche Normalform der Geraden durch \(M\) und \(N\) offensichtlich

$$\frac15 \begin{pmatrix} 4 \\ -3\end{pmatrix} x = d$$ wobei \(d\) der Abstand der Geraden zum Urspung und damit zu \(D\) ist. Einsetzen von \(M\) ergibt

$$d = \frac15 \begin{pmatrix} 4 \\ -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 30 \\ -60\end{pmatrix}  = \frac15 (120 + 180) = 60 = |DA|$$