Ist das Vorzeichenwechselkriterium dem Kriterium mit der zweiten Ableitung überlegen?

Question

1. Um nachzuweisen, dass die differenzierbare Funktion f an der Stelle x₀  einen Extrempunkt hat, genügt es, f'(x₀) = 0 und f''(x₀) ≠ 0 nachzuweisen. Dieses Kriterium versagt bei f(x) = x².
2. Um nachzuweisen, dass die differenzierbare Funktion f an der Stelle x₀  einen Extrempunkt hat, genügt es, zu zeigen, dass f' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel hat (d.h. es gibt ein δ > 0, so dass f'(x₀-h) < 0 und f'(x₀+h) > 0 für jedes h mit 0 < h < δ oder umgekehrt).

Gibt es Funktionen, bei denen Kriterium 1 den Extrempunkt findet, aber Kriterium 2 den Extrempunkt nicht findet? Falls ja, wie lautet eine solche Funktion?

Das erste Kriterium kann so erweitert werden:

• Die hinreichend oft differenzierbare Funktion f hat einen Extrempunkt bei x₀, wenn das kleinste n ≥ 1 , für das f⁽ⁿ⁾(x₀) ≠ 0 ist, gerade ist.
  

Gibt es Funktionen, bei denen dieses Kriterium den Extrempunkt findet, aber Kriterium 2 den Extrempunkt nicht findet? Falls ja, wie lautet eine solche Funktion?

Answer 1

  Endlich mal jemand, der Ahnung hat. Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel:

   " Es gibt keine notwendigen, sondern nur hinreichende Kriterien.

   Eine gerade Nullstelle ist stets ein ( lokales ) Extremum; das Vorzeichen der ersten Ableitung ungleich Null entscheidet dann, ob Minimum oder Maximum.

  

Eine ( mehrfache ) ungerade Nullstelle ist stets ein ===> Terrassenpunkt. "

   Denk mal rein logisch nach; was kann alles schief gehen?

   1) Die ersten n Ableitungen verschwinden; die ( n + 1)_te Ableitung existiert nicht - keine Aussafge.

  2) Die Funktion an sich ist unendlich oft differenzierbar, doch verschwinden alle ihre Ableitungen - keine Aussage.

   3) Beispielsweise die Betragsfunktion ist in ihrem lokalen Minimum auch nicht einmal differenzierbar; ihre Nullstelle hat überhaupt keine definierte " Ordnung " - keine Aussage.

   4) Und jetzt wende ich mich  einer Klasse zu, die selbst die Matematiker als " patologisch " handeln.

   Hinreichend für streng monoton Wachsend auf einem Intervall ist f ' ( x ) > 0 - das wisst ihr.

   Gilt auch die Umkehrung? Nur ===>  fast überall   ( f.ü.)

   Eine auf einem Intervall streng monoton wachsende Funktion ist f.ü. differenzierbar mit f ' ( x ) > 0 .

    Nun folgt zwar aus der Differenzierbarkeot die Stetigkeit ( Die Tangente ist stetig )  aber nicht umgekehrt.

   Eine sehr poipuläre Funktion, deren Konstruktion schon in der PC Zeitschrift besprochen wurde:

   Die ===> Kochsche Schneeflockenkurve ( KSK ) ein ===> Fraktal.

  Die KSK zeichnet sich dadurch aus, dass sie auf ganz |R stetig ist, ohne auch nur in einem Punkte differenzierbar zu sein.

   Ergo a tergo kann sie auf keinem noch so kleinen Intervall monoton verlaufen; sonst w#re sie ja f.ü. differenziernbar.

   Doch sie ist nirgends differenzierbar.

   Ihre LOKALEN EXTREMATA LIEGEN DICHT ,

  So viel zu deinem Kriterium ...

Comments

Endlich mal jemand, der Ahnung hat.

Ja, danke! Anscheinend hat diese Ahnung aber nicht dazu gereicht, dass ich zwischen 1 und 2 zu unterscheiden kann. Deshalb musste ich meine Frage noch mal überarbeiten.

Answer 2

Gibt es Funktionen, bei denen Kriterium 1 den Extrempunkt findet, aber Kriterium 2 den Extrempunkt nicht findet?

Kriterium 1 impliziert doch Kriterium 2, d.h. Kriterium 2 ist das staerkere.

Das zweite Kriterium kann so erweitert werden:

Was Du dann angibst, impliziert auch wieder Kriterium 2. (Ausserdem muss es heissen: Die erste Ableitung die nicht verschwindet ist eine gerade. Das verallgemeinert also Kriterium 1, nicht 2.)

Eine Beispiel, bei dem nur Kriterium 2 funktioniert ist die Cauchyfunktion $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&\text{fuer $x\ne0$,}\\0&\text{fuer $x=0$.}\end{cases}$$