Kurven - Extremstellen - Vorzeichenwechselkriterium

Question

 
ich habe ein Problem und möchte nicht schlafen, ehe ich es gelöst habe :) 
Die Aufgabenstellung lautet: Bestimme alle lokalen und globalen Extrempunkte des Graphen von f. Skizziere anschließend den Graphen von f.
Die Aufgabe: f(x)=x^6 - (6/5)x^5 - 2x^4 + 6  Nun habe ich die Funktion abgeleitet und sie sieht jetzt wie folgt aus: f ' (x)= 6x^5 - 6x^4 - 8x^3
Dann habe ich die abgeleitete Gleichung aufgrund der notwendigen Bedingung gleich 0 gesetzt und ausgeklammert: f ' (x)=0=x^3(6x^2 - 6x - 8) mögliche Lösungen für x: ^x E1= 0 und die 2 Lösungen, die ich durch die P.Q Formel ermittelt hab: x2= 1,77 und x3=-0,77
Hier fangen schon die Probleme an. Ich habe 3 Lösungen und weiß nicht wirklich wie ich weiter verfahren soll.  Ich habe auf Youtube ein Paar Anleitungsvideos mir angeschaut, jedoch habe ich den nächsten Schritt und zwar das Vorzeichenwechselkriterium nicht richtig verstanden. Kann mir jemand schrittweise erklären, was ich als nächstes zutun hab und ob es sein kann, dass 3 mögliche Lösungen für x rauskommen? Ich habe das Thema aufgrund von Krankheiten etwas verpasst und bin momentan in der "Nachholphase". 

Answer 1

Hier zunächst der Graph

~plot~ x⁶ - (6/5)x⁵ - 2x⁴ + 6 ; [[ -5 | 5 | -5 | 10 ]]~plot~

f ' (x)= 6x⁵ - 6x⁴ - 8x³
Nullstellen der 1.Ableitung
x = - 0.76
x = 0
x = 1.76

Monotonie > 0
f ' (x)= 6x⁵ - 6x⁴ - 8x³  > 0
x^3 * ( 6*x^2 - 6*x - 8 ) > 0

1. Möglichkeit
x^3 > 0 => x > 0
und
6*x^2 - 6*x - 8 > 0
x^2 - x - 8/6 > 0
( x - 1/2)^2 > 8/6 + 1/4 = 1.5833
x -1/2 > 1.26
x -1/2 < - 1.26
x > 1.26 + 1 und x > 0 => x > 1.76
x < - 1.26 + 1
x > 1.76
x < - 0.26 und x > 0  = entfällt

2. Möglichkeit
x^3 < 0 => x < 0
und
6*x^2 - 6*x - 8 < 0
x^2 - x - 8/6 < 0
( x - 1/2)^2 < 8/6 + 1/4 = 1.5833
- 1.26 < x -1/2 < 1.26
- 1.26 + 1/2 < x < 1.26 + 1/2
( -0.76 < x < 1.76 ) und ( x < 0 ) =>
-0.76 < x < 0

Die Funktion ist zwischen
-0.76 < x < 0
und
x > 1.76
steigend

Die Funktion ist  für
x  < -1.76
und
0 < x < 1.76
fallend

x = -0.76 Wechsel von fallend nach steigend
x = 0 Wechsel von steigend auf fallend
x = 1.76  Wechsel von fallend auf steigend