Vorzeichenwechselkriterium bei lokalen Extremalstellen

Question

f(x)=x-1/4x^4

Untersuchen Sie die Funktion f auf lokale Extremstellen. Verwenden Sie als hinreichende Bedingung das Vorzeichenwechselkriterium.

Wie löse ich diese Aufgabe? Kann mir bitte jemand helfen

Answer 1

f(x)=x-1/4x⁴

f ' (x) =1-x³

f ' (x)=0   <==>   x = 1

f ' (1-h) = 1 - (1-h)³  = 3h - 3h² + h³ = h *( 3 - 3h + h² )

also positiv

f ' (1+h) = 1 - (1+h)³  = -3h - 3h² - h³  = -h *( 3 + 3h + h² )

also negativ

Vorzeichenwechsel von + nach - also Hochpunkt bei 1.

Answer 2

f(x) = x - 1/4·x^4

f'(x) = 1 - x^3 = 0 --> x = 1

Wir haben bei x = 1 eine Nullstelle.

Was passiert wenn du kleinere oder größere Werte einsetzt?

f'(0) = 1 --> +

f'(2) = -7 --> -

Man hat hier also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach -.

Warum darf ich in diesem Fall einfach 0 und 2 einsetzen. Natürlich könnte man auch 0.9 und 1.1 nehmen.