Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung

Question

bei folgender Aufgabe benötige ich unbedingt Hilfe:

Sei φ:R^n×n → R^n×n, φ(A)=A²−A.

a) Bestimmen Sie Dφ(A) für beliebiges A∈R^n×n und geben Sie die Matrixgleichung für B ∈ Kern Dφ(A) an.

b) Sei A∈R^n×n eine Matrix mit A=A² ,d.h. A ist eine lineare Projektion. Vereinfachen Sie die Matrixgleichung für B ∈ Kern Dφ(A) für diesen Fall und bestimmen Sie Kern Dφ(A).

Comments

Du hast vergessen zu sagen, was $D$ sein soll.

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D ist das Differential

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Und das ist wie definiert? Die Aufgabe klingt nach Linearer Algebra.

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Es gehört aber zum Teil mit zur Differentialgeometrie. Das Differential ist definiert als die Ableitung von φ(A)=A²−A.

Also Dφ(A)(H)= AH+HA-H

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Und was ist dann noch die Frage? Wie man $A^2=A$ zum Berechnen von $B$ aus $AB+BA-B=0$ verwendet?

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Ja genau letzteres ist meine Frage

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Meinst Du nicht, es waere sinnvoll, solche Sachen gleich von Anfang an mitzuteilen?

Mit dem algebraischen Zusammenhang $A^2=A$ wirst Du wohl nichts direkt anfangen koennen. Aber es wird ja im Hinweis erwaehnt, dass $A$ dann eine Projektion ist. Projektionen sind diagonalisierbar und auf der Diagonale stehen nur Einsen und Nullen.