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Ich sitze an meiner Facharbeit zur Berechnung von Kurvenlängen. Nun habe ich eine Funktion, die ich integrieren muss, weiß aber nicht wie ich dies sinnvoll anstellen soll. Der Integralrechner im internet nutzt Rechenwege, die ich mir selbst nicht herleiten kann. Gibt es eine Möglichkeit diese Funktion zu integrieren, mit einem Rechenweg, der auch einigermaßen erklärbar ist (für einen Schüler im Matheleistungskurs in der Klasse 12)?

Hier meine Funktion :

$$\int_0^{820} {\sqrt{1+\bigg(\frac{14}{42025}x-\frac{56}{205}\bigg)^2}} $$



Ich freue mich über Antworten sehr.

Viele Grüße

Georg


von

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Hallo,

falls dir die Integrationsmethoden nicht geläufig genug sind, bzw. du die dabei benutzten Funktionstypen nicht verwendet hattest, oder andere Gründe, kannst du das ganze auch näherungsweise mit numerischen Verfahren lösen. Ich habe hier mal zwei verschiedene Verfahren aufgeführt, bei dem man schon recht nahe an das Ergebnis kommt.

Trapezmethode

$$ \int_a^bf(x)dx\approx\frac{f(a)+f(b)}{2}\cdot \frac{b-a}{n}+ \frac{b-a}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n-1}{f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}{n}\Big)} $$

a : Untergrenze, hier 0

b : Obergrenze, hier 820

n : äquidistante Zerlegung des Intervalls, hier [0,820] mit n=10

Dann hat man also:

$$ \int_0^{820}{\sqrt{1+\Big(\frac{14}{42025}x-\frac{56}{205} \Big)^2}}dx\approx \frac{f(0)+f(820)}{2}\cdot \frac{820-0}{10}+ \frac{820-0}{10}\cdot\sum_{k=1}^{10-1}{f\Big(0+k\cdot\frac{820-0}{10}\Big)}\\ \approx \frac{1,0366+1}{2}\cdot 82+ 82\cdot\sum_{k=1}^{9}{f(82k)}\\=83,5006+82\cdot\sum_{k=1}^{9}{f(82k)}\\=83,5006+82(f(82)+f(164)+f(246)+f(328)+f(410)+f(492)+f(574)+f(656)+f(738))\\=83,5006+82\cdot\sum_{k=1}^{9}{f(82k)}\\=83,5006+82(1,03+1,0236+1,0181+1,0133+1,0093+1,0060+1,0034+1,0015+1,0004)\\=\underline{\underline{830,1598}}$$

Oder direkt mit dem Computer berechnen lassen

Man berechnet es mit einem Computer direkt, auch nur numerisch, nach dieser Abbildung:

blob.png

$$A_k=\frac{1}{n}\cdot f(x),\text{ mit  } x:=\frac{k}{n} $$

Dann hat man:

$$ \sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{A_k}=\sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{\frac{1}{n}\cdot f\Bigg(\frac{k}{n}\Bigg)}=\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=0}^{a\cdot n-1}{ f\Bigg(\frac{k}{n}\Bigg)} $$

$$\int_0^{820}{\sqrt{1+\Big(\frac{14}{42025}x-\frac{56}{205} \Big)^2}}dx\\[15pt]\stackrel{n=1000}{\approx}\frac{1}{1000}\cdot\sum_{k=0}^{820\cdot1000-1}{\sqrt{1+\Big(\frac{14}{42025}\cdot \frac{k}{1000}-\frac{56}{205} \Big)^2}}\approx  \underline{\underline{830,0872}}$$

Python-Code:

from math import*

n = int(input(' n = '))    #Einteilungsschritte
a = float(input(' a = '))  #Obergrenze

summe = 0
k=0                              #Laufvariable k
while k<=a*n-1:          #Es wird solange aufaddiert, bis diese Bedingung nichtmehr gilt
    summe = summe+sqrt(1+((14/42025)*(k/1000)-(56/205))**2)
    k = k+1

print(summe/n)

von 7,0 k
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Hallo,

na da hast du dir aber ein schwieriges Integral rausgesucht ;).

Backe erstmal kleine Brötchen und betrachte folgendes Integral :

$$\int \sqrt{1+x^2}dx $$

Um dies zu lösen brauchst du folgendes:

- wissen über Integration durch substitution

- wissen über trigonometrische bzw. hyperbolische Funktionen

Kennst du z.B die Funktion f(x) = sinh(x) ?

Wenn man die Lösung zu diesem integral hat, dann kann man daraus die Lösung zu deinem Integral herleiten.

von 33 k
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Hallo,

Falls das Integral so lautet:

Folgende Substitutionen führen zum Ziel:

z=(14x)/(42025)   - 56/205

z=tan(t)

Ist aber wirklich nicht einfach für eine 12 Klasse .

von 88 k

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