0 Daumen
760 Aufrufe

berechnen sie mit hilfe der binom. Reihe die drei ersten Terme der potenzreihe von

f(x)= 3√1+x^3/10

(Entwicklungsgrad=0)

Berechnen Sie mit hilge dieser Potenzreihe näherungsweise

01∫ f(x) dx.

EDIT: Gemeint war:

Skärmavbild 2018-06-12 kl. 20.09.30.png

von

Tipp:  \(\displaystyle(1+z)^\frac13=\sum_{k=0}^\infty\binom{\frac13}kz^k=1+\tfrac13z-\tfrac19z^2+\tfrac5{81}z^3+\cdots\).

Ist das die lösung der aufgabe ?

Ich komme gerade nicht weiter

Ich

Nein, das ist nicht die Lösung. Nur ein möglicher Ansatz.

Okay ich sitze momentan auf dem roten faden

Und komme nicht weiter

Danke für den ansatz

Was ist damit genau gemeint?

f(x)= ^{3}√1+x^{3}/10


f(x)= 1 +x^{3}/10

oder

f(x)= ^{3}√(1+x^{3})/10

oder

f(x)= ^{3}√(1+x^{3}/10)

f(x)= 1÷ 3√1+ x3/10

image.jpgIch meine das hier sorry für die verwirrung

Tipp2:  \(\displaystyle(1+z)^{-\frac13}=\sum_{k=0}^\infty\binom{-\frac13}kz^k=1-\tfrac13z+\tfrac29z^2-\tfrac{14}{81}z^3+\cdots\).

1 Antwort

0 Daumen

der Ansatz dafür ist der binomische Lehrsatz, mit der man die binomische Reihe erhalten kann.

$$ (1+b)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}\alpha\\k \end{pmatrix}b^k $$

Die Funktion f muss nun so umschrieben werden, sodass es dem Term $$ (1+b)^\alpha $$ nahe kommt. $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}=\Bigg(1+\frac{x^3}{10} \Bigg)^{-\frac{1}{3}}\\\alpha=-\frac{1}{3} \qquad b=\frac{x^3}{10} $$

Jetzt einfach einsetzen:

$$  f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}=\Bigg(1+\frac{x^3}{10} \Bigg)^{-\frac{1}{3}}=\underline{\underline{\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k}} $$

Nun die ersten drei Terme. Man geht nur bis n=2, da bei k=0 angefangen wird zu zählen.

$$ \sum_{k=0}^2\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k=1\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^0-\frac{1}{3}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^1+\frac{2}{9}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^2\\=1-\frac{1}{30}x^3+\frac{1}{450}x^6=\frac{1}{450}(x^6-15x^3+450) $$

Nun die Berechnung des bestimmten Integrals:

$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{10}}}dx=\int_0^1 \Bigg(\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix}\Bigg(\frac{x^3}{10} \Bigg)^k\Bigg)dx\\=\int_0^1 \Bigg(\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k}\cdot x^{3k}\Bigg)dx\\=\Bigg[\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot x^{3k+1}\Bigg]_0^1\\=\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot 0^{3k+1}-\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}\cdot 1^{3k+1}\\=\underline{\underline{\sum_{k=0}^\infty\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\k \end{pmatrix} \frac{1}{10^k(3k+1)}}}$$

Hier ein Link, wer diese Summe als Ergebnis bestimmten Integrals, mal als ,,Zahl'' sehen will.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of((-1%2F3+nCr+k)((1)%2F(10%5Ek(3k%2B1)))+from+k%3D0+to+infty)

Und mit den ersten drei Termen hätte man folgendes Näherungsresultat:

$$ \int_0^1f(x)dx\approx \int_0^1 \frac{1}{450}(x^6-15x^3+450) dx=\frac{1}{450}\Bigg[\frac{1}{7}x^7-\frac{15}{4}x^4+450x\Bigg]_0^1\approx \underline{\underline{0,99198}} $$

von 12 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community