Ungleichung beweisen | √a - √b | ≤ √(|a - b|)

Question

Aufgabe:

Zeige, dass für alle reellen Zahlen a,b ≥ 0 gilt:

 \(| \sqrt{a} \)  - \( \sqrt{b}  |\) ≤ \( \sqrt{|a - b|} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das beweisen, ich habe gedacht, vielleicht mit dieser Ungleichung:

\( \sqrt{a*b} \) ≤ \( \frac{a + b}{2} \),

wobei a,b ∈ ℝ, a,b > 0 gilt.

Answer 1

Hallo :-)

Für \(a,b=0\) sollte das klar sein...

Du kannst es zb so zeigen:

$$ |\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\left |\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right|=\left | \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right |=\frac{|a-b|}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{|a-b|^2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\[10pt]=\frac{\sqrt{|a-b|}\cdot \sqrt{|a-b|}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\stackrel{(1)}{\leq} \frac{\sqrt{|a-b|}\cdot \sqrt{|a|+|b|}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}= \frac{\sqrt{|a-b|}\cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\[10pt]\stackrel{(2)}{\leq} \frac{\sqrt{|a-b|}\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{|a-b|}$$

(1) Dreiecksungleichung und Wurzel ist monoton wachsend

(2) Nutze \(\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}\)  für \(x,y\geq 0\).

Answer 2

Nimm mal an, dass a≥b gilt. Dann klannst du sämtliche Betragsstriche hier weglassen und beide Seiten quadrieren.